自考畢業(yè)論文-淺談求極限的若干方法-文庫(kù)吧資料
2025-06-12 12:39本頁面
【正文】 能用洛必達(dá)法則，而須用其他方法討論 ()lim ()fxgx 。） 例；求極限 (1)、 221 1lim 21x xxx? ??? (2)、 3 12lim 3x xx? ??? 1）解：221 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1 2l im l im l im2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 3x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 2）解： 331 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 1l im l im34( 3 ) ( 1 2 )xxx x xx xx??? ? ? ? ? ???? ? ? ? 、 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 在這一類型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡(jiǎn)后才可以利用公式。首先對(duì)函數(shù)施行各種恒等變形。 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。如果0lim ( ) 0xxfx? ? ,g(x)在某區(qū)間 內(nèi) 有界，那么 0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問題。 故有 lim 2 2 .. .. .. 2 = 2x ?? ? ? ?。 解 ： 2 2 2 21 1 1.......n nx n n n n n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 21 1 1.......1 1 1 1n nx n n n n? ? ? ? ?? ? ? ? 則 221nnnxn n n???? 又 22lim lim 11xxnnn n n? ? ? ????? 所以： lim 1nx x?? ? 、單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂，且極限唯一 例： 2 , 2 2 ,? ?? ， 2 2 .. .. .. 2? ? ? 解：設(shè) 2 2 ...... 2na ? ? ? ? 2 2 ...... 2na ? ? ? ?，則易知數(shù)列 { na }是遞增的，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列 {na }有上界， 假設(shè) 2n?a 則有 1 2 2 2 2nna ? ? ? ? ? ?a ，從而對(duì)一切 n 以后 2n?a ，即數(shù)列 {na }有上界。 一、 化簡(jiǎn)極限的方法： 、 換元法 ： 例： 1 1lim lnxxxxx?? 解 ：令 1xtx?? 則 ln ln( 1)xt?? 1 t 01lim = lim 1ln ln ( 1 )xxxtx x t??? ?? 、 無窮小替換： （ 1） 等價(jià)無窮小量：此方法在求極限過程中，只能用于乘除法中； （ 2）常見等價(jià)無窮?。寒?dāng) 0x? 時(shí) 有： sinxx～ tanxx～ ln xx(1+)～ 1xex?～ 1112xx?? ～ 211 cos 2xx? ～ ? ?1 xx???～ 1 lnxa x a? ～ 例：30ta n sinlimxxxx?? 解：原式 =30s in (1 c o s )lim c o sxxxxx?? =230.1 2lim c o sxxxxx? =12 、 取自然對(duì)數(shù)法： 取自然對(duì)數(shù)法適用于 ()()gxfx 型 例：0lim xx x?? 解 ： 0lim ln0lim xxxxx xe??? ? 00lnlim ln lim 01xxxxxx?????? 所以， 00lim 1xx xe?? ?? 、 根式有理化： 分子有理化和分母有理化 ， 主要運(yùn)用平方差公式 例 0 1 ta n 1 ta nlim 1xx xxe? ? ? ?? 解： 0 1 ta n 1 ta nlim 1xx xxe? ? ? ?? 002 t a nl i m( 1 )( 1 t a n 1 t a n )2l i m 1( 1 t a n 1 t a n )xxxxe x xxx x x??? ? ? ? ???? ? ? 、約去無窮因子：此方法應(yīng)用在不定式中 （ 1）、 1 1lim 1nmx xx? ?? （ 2）、 lim 21xxxxx????? 解：（ 1）、12111 ( 1 ) ( 1 )l im l im1 ( 1 ) ( 1 )n n nm m mxxx x x x xx x x x x????? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? 1211l im 1nnmmxx x x nx x x m???? ? ???? ???? ? ???? ? 注：本題為“約去無窮小因子” （ 2）、311( 1 )l i m l i m2 1 1( 2 )xxxxxx xxx xx? ? ? ????????
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