求極限及幾種方法論文-文庫(kù)吧資料
2025-01-19 07:55本頁(yè)面
【正文】 11n kkkkn kx n n?????? ? ? ?????? (1) 解 : 由于幾何平均數(shù)小于算術(shù)平均數(shù)，故分母中的因子 ? ? ? ? ? ? ? ?132 1 32354 3 522 1 2 12 2 1 2 12nnn n n?? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 9 由此可知： ? ?1 3 5 2 1 102 4 6 2 21n nx n n? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 而 1lim 021n n?? ?? ? lim 0nn x?? ? 9 L’Hospital 法則 （ 1）在使用 L’Hospital 法則之前，必須考慮它是否屬于七種不定型之一。 例：若 lim , limnnnnx a y b? ? ? ??? 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 8 試證明： 1 2 1 1l im n n nnx y x y x y abn???? ? ? ? 證明：令 ,n n n nx a y b??? ? ? ? 則當(dāng) n?? 時(shí)， , ??? 于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 11 2 1 1n n nn n nx y x y x yna b a b a bn? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1 2 1 2 1 2 1 1n n n n na b a bn n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 從而有： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 11 2 1 11 2 1 2 1 2 1 1l i ml i ml i m l i m l i mn n nnn n nnn n n n nnnnx y x y x yna b a b a bnab a bn n nab? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 8 兩邊夾法則 當(dāng)極限不易求出時(shí)，可以考慮將極限適當(dāng)變形。 例 1：求 1 1 1lim1 2 2n n n n?? ??? ? ???????的極限 解： 原式 = 1 1 1 1l im 1 12 2 2n nn?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?2l im l n 2 l nnnn n c n c????? ? ? ? ? ? （其中 C 為 Euler 常數(shù)，當(dāng) n?? 時(shí)， 2 0, 0nn????） 例 2：試借用 Stirling 公式： 12! 2 , 0 1nnn n nn n n e ?????? ? ? 來(lái)求極限111lim 11n iinieni??? ? ???????? 。 例：求 limnx x?? 1） .23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2n nx x x xxx? 2) 223 5 1 7 2 12 4 1 6 2nnnx?? ? ? 3) 3 3 31112nnix i?? ? ? ?? 4) ? ?? ?1112nnix ii?? ??? 1）解： 1）式的右邊乘以 2 sin22 sin2nnnnxx 得：23c os c os c os c os 2 s i n2 2 2 2 22 s i n 2nnnnnnx x x x xx x? sin sin2sin 2nnxxxx? ? ? 從而 00si nlim lim 1nxxxx x????（當(dāng) n?? 時(shí)， 0x? ） 2) 解 : 2)式乘以112112??，再對(duì)分子反復(fù)利用 ? ?? ? 22a b a b a b? ? ? ? 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 6 231 1 1 11 1 1 12 2 2 2112nnx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? 22112 2112n?????????? （當(dāng) n?? 時(shí)） 從而 22112lim lim 2112nnnnx? ? ? ???? ??????? ? ? ? ?3 3 3 21 1 1 11 1 1 1 1 11 2 2 111112 12 12n n n nn i i i ix i i ni i ii? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? 從而，有： 1lim lim 2 1 21nnnx n? ? ? ???? ? ?????? 4）解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 1 2 1 4 1 2 1 2 2nnn iix i i i i i i n n n?? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ????? 從而，有： ? ? ? ?1 1 1 1 1l im l im 4 1 2 1 2 2 4nnnx n n n? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? 1）若 ? ? ? ? ? ?0 , l im 0 , l imx a x af x f x b g x c??? ? ? ?，則 ? ? ? ?lim gx cxaf x b? ? 因?yàn)?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?l i m l nln lnl im l imx g x f xgx g x f x c b cx a x af x e e e b??? ? ? ? ? 2）若 ? ? ? ? ? ? ? ?l im 0 , l im , l imx a x a x af x g x f x g x ?? ?
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