【正文】 處連續(xù) 所以 1limln(1 )xx x?? ? 1ln[lim(1 ) ]xx x???? lne? 1? 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 無窮小量的性質(zhì)：無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。如果 ()u gx? 在點(diǎn) 0x 連續(xù) 00()gx ?? ,而()yf?? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù) ( ( ))y f g x? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)。 (2) 求含取整函數(shù)的函數(shù)極限 (3) 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限 (4) 含偶次方根或的函數(shù)以及 arctanx arc tancx的函數(shù)， x 趨向無窮的極限 . 這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級數(shù)收斂 的必要條件：若級數(shù)1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級數(shù)1 nn ????收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 。 例 5：求下列函數(shù)的極限 (1) 23lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nnn x x x x? ? ? ????????????? (2) 22lim(1 )mm nm?? ? 解 ： (1) 23c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nx x x x 231 c os c os c os c os si n2 2 2 2 2si n 2 nnnx x x x xx? 1 sin2 sin 2n n xx? 23lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nn x x x x?? 1 si n si nl im si n2 si n l im 2 si n22n nnnnnxxxxx x????? ? ? 230lim lim c o s c o s c o s c o s2 2 2 2 nxn x x x x? ? ?????????????0 sinlim 1x xx??? （ 2） 2 2 2 22 2 22 2 2( ) ( ) 02 2 2l im ( 1 ) l im ( 1 ) l im ( 1 ) 1m n m nmm mn m nm m mn n n em m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 例 6：xxx ?? ?? sinlim 解：令 t= x?? .則 sinx=sin( ?? t)=sint, 且當(dāng) ??x 時(shí) 0?t 故 1sinsin limlim0 ??? ?? ttxxtx ?? 例 7：求 ? ?1 1sin 21lim ? ?? xxx 解：原式 = ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 21 1s i n111 1s i n1 22121 l i ml i m ???????? ???? xxxxx xxxx 例 8: 求 xx x10 )21(lim ??的極限 解：原式 = 221210 )21()21(lim exxxxx ????????? ?? 利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限。39。表示成在 ()fx定點(diǎn) 0x 的導(dǎo)數(shù)。首先要選好 ()fx。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡；化無窮多項(xiàng)的和（或積）為有限項(xiàng)。 若 B≠ 0 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 3: 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。 因?yàn)?0ny? 解方程得 1 4 12al ??? 所以 1 4 1lim 2nx ayl?? ???? 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 極限的四則運(yùn)算法則敘述如下： 若 0lim ( )xxf x A? ? 0lim ( )xxf x B? ? 1：兩收斂數(shù)列的和或積或差也收斂且和或積或差的極限等于極限和的或積或差。根據(jù)定理 {}ny 有極限，而且極限唯一。 又因?yàn)?2 1 3 2 1, , , nny a y y a y y a y ?? ? ? ? ? ? 所以得 2 1nny a y ??? . 因?yàn)榍懊孀C明 ny 是單調(diào)增加的。 1 2 3, , , , ny a y a a y a a a y a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證明 ：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來看 ny 顯然是單調(diào)增加的。 利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞 推公式求極限。 2 極限的求法 利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限 (1)函數(shù)極限的迫斂性（夾逼法則） ： 若一正整數(shù) N,當(dāng) nN 時(shí)，有 n n nx y z?? ， 且lim limnnxxx y a?? ????則有 lim nx ya?? ? . 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從 nx 的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列 {}ny 和 {}nz ，使得 n n ny x z??。 2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。 數(shù)學(xué)分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數(shù)學(xué)界引起不少爭論甚至懷 疑。例如 ,3世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計(jì)算圓周率 ? 的。 1 引言 ......................................................... 2 2 極限的求法 ................................................... 2 利用兩個(gè)準(zhǔn)則求 極限 ......................................... 2 利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 ................................ 4 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 .................