【正文】 率為 )10( ＜＜ pp ,隨機(jī)變量 nY 表示事件 A在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) ,則有 dtezpnp npYP z tnn ? ?? ??? ??????????? ??? 2221)1(l i m ?, 其中 z 是任何實(shí)數(shù) 。 定理的應(yīng)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ? ?nX ,不管 ),2,1( niX i ?? 服從什么分布 ,只要他們是分布 ,且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 ,那么 ,當(dāng) n 充分大時(shí) ,這些隨機(jī)變量之和 ??ni iX1近似地服從正態(tài) 分布 ),( 2?? nnN 。 （ 2） P(利潤(rùn) 100? ) )1 0 0203 0 0( ??? XP ) 510()10( ?????? XP P(利潤(rùn) 200? ) )20210300( ??? XP ) 515()5( ?????? XP 以 上結(jié)果說(shuō)明保險(xiǎn)公司幾乎不可能虧本 ,不過(guò)要記住 ,關(guān)鍵之處是對(duì)死亡率估計(jì)必須正確 ,如果所估計(jì)死亡率比實(shí)際低 ,甚至低得多 ,那么情況就會(huì)不同 。 例 4： 某保險(xiǎn)公司有 2500 個(gè)人參加保險(xiǎn) ,每人每年付 1200 元保險(xiǎn)費(fèi) ,在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為 ,死亡時(shí)某家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得 20 萬(wàn)元 。 所以 ,實(shí)際觀測(cè)的到的誤差可以看作是一個(gè)隨機(jī)變量 ,它是很多數(shù)值微小的獨(dú)立隨機(jī)變量的總和 ,按林德伯格定理 ,這個(gè)隨機(jī)變量應(yīng)該服從 正態(tài) 分布 。 例如 ,進(jìn)行觀測(cè)時(shí) ,不可避免地有許多引起觀測(cè)誤差的隨機(jī)因素影響著我們的觀測(cè)結(jié)果 ,其中有些誤差是由測(cè)量?jī)x器的情況引起的 ,這些情況可以在溫室、大氣壓力或其他因素的影響之下改變著；有些誤差是屬于觀測(cè)站個(gè)人的誤差 ,這些誤差大多數(shù)是由于視覺或聽覺引起的 等等 。 其中 )(xfi 是隨機(jī)變量 iX 的概率密度 ,則當(dāng) ??n 時(shí) ,我們有 dtezZP z tnn ? ?? ??? ?? 2221)(lim ? 即 dtezsXP z tnni iin ???????? ???21221))((l i m?? 其中 z 是任何實(shí)數(shù) 。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 極限定理 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ,有很多隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布 。 2 中心極限定理的應(yīng)用 前言 大數(shù)定律 討論的 是多個(gè)隨機(jī)變量的平均 ??ni iXn 11 的漸近性質(zhì) ,但沒有涉及到隨機(jī)變量的分布的問(wèn)題 。 除此之外 ,許多學(xué)者利用概率論思想研究了大數(shù)定律在其他相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用 。 這就是說(shuō) ， 無(wú)論個(gè)別隨機(jī)個(gè)體以及它們?cè)?隨機(jī)試驗(yàn) 過(guò)程中的個(gè)別特征如何 ， 大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果與每一個(gè)體的特征無(wú)關(guān) ， 且不再是隨機(jī)的 。 從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以看出：一個(gè)事件發(fā)生的概率具有穩(wěn)定性 ， 即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多 ， 事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近 。 根據(jù)辛欽大數(shù)定律知 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 1)611(lim 21 2 ?????? ＜ini in EnP ?? 從而 1lim 1 ?? ??? nG nn dxdx ?? 大數(shù)定律 的意義 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨即現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué) ， 而隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察才呈現(xiàn)出來(lái) 。 例 3：假設(shè)?????? ?????? 1,0,2:),( 212222121 nnnn xxxnxxxxxxG ???,求其極限? ?nG ndxdx?? 1 。數(shù)學(xué)分析中的有些問(wèn)題 ,用數(shù)學(xué)分析的方法很難解決 ,但如果巧用概率論的方法 ,則變得比較容易處理了 。 概率論借助于數(shù)學(xué)分析 ,可以較好地描述、處理、解 決隨即現(xiàn)象的有關(guān)理論和應(yīng)用問(wèn)題 。 事實(shí)上 ,用觀察值的平均去作為隨機(jī)變量的均值在實(shí)際生活中是常用的方法 。 所以 ,在 )(XE 存在的條件下 ,按照辛欽大數(shù)定律 ,當(dāng) n 足夠大時(shí) ,可以把平均觀察值 ??ni iXn 11 作為 )(XE 的近似值 。 辛欽大數(shù)定律提供了求隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望 )(XE 的近似值的方法 。 伯努利大數(shù)定律仍然是辛欽大數(shù)定律的特例 。 辛欽大數(shù)定律及其在數(shù)學(xué)分析方面的應(yīng)用 我們已經(jīng)知道 ,一個(gè)隨機(jī)變量的方差存在 ,則其數(shù)學(xué)期望必定存在；但反之不成立 ,即一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在 ,則其方差不一定存在 。 當(dāng) n=106 時(shí) ,大偏差發(fā)生的可能性小于 ％ ? 。 若把這枚硬幣連拋 n 次 ,當(dāng) n 很大時(shí) ,由切比雪夫不等式知：證明出現(xiàn)的概率與 的偏差大于預(yù)先給定的精度 ? （若取精度? =）的可能性 nP n 410n0 .01 42 ????????? ? ＞?? 。 譬如 ,拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率 p=。 伯努利大數(shù)定律提供了用頻率來(lái)確定概率的理論依據(jù) 。 這就是頻率穩(wěn)定于概率的含義 ,或者說(shuō)頻率依概率收斂于概率 。 則 ),2,1()(,)( 2 niXDXE ii ???? ?? ,儀器第 i 次測(cè)量誤差 iXa? 的數(shù)學(xué)期望2)(,)( ?? ???? ii XDaaXE 設(shè) 2)( aXY ii ?? 亦是相互獨(dú)立的具有相同分布隨機(jī)變量 ,在儀器無(wú)系統(tǒng)誤差時(shí)有 aXE i ?)( ,即 a?? ? ? ? ? niXDXEaXEYE iiii ,2,1,)()()()( 222 ???????? ?? 由切比雪夫大數(shù)定律 , 0??＞ ,有 1)1(lim 21 ?????? ?? ＜ni in YnP , 即 0＞?? ,有 1))(1(l i m 21 2 ??????? ?? ＜ni in aXnP 從而確定當(dāng) ??n 時(shí) ,隨機(jī)變量 ?? ?ni i aXn 12)(1 依概率收斂于 2? ,即當(dāng) n 充分大時(shí) , 可以用 ?? ??ni in aXnS 122 )(1 作為儀器誤差的方差近似值 。 如果 0＞?? ,恒有 1)(lim 22 ???? ?? ＜nn SP,則 n充分大時(shí) 2nS 就可以看作是 2? 的近似值 。 例 2：使用某 儀器 測(cè)量已知量 a ,設(shè) n 次獨(dú)立得到的測(cè)量值為 ?? , 21 nXXX 。 推論 1： 設(shè)隨機(jī) 變量 ?? , 21 nXXX 相互獨(dú)立 ,且它們具有相同的分布及有限的數(shù)學(xué) 期望和方差： ),2,1(, 2 ???? iDxaEX ii ?,則對(duì)任意給定的正數(shù) ? ,有 1)1(lim ????? ?＜aXnP in 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 3 例 1： 已知 正常男性成人 血液中 ,每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是 7300,均方差是 700,利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在 5200～ 9400 之間的概率 。 （ 3）對(duì) n 重伯努利試驗(yàn) ,利用切比雪夫不等式可以確定試驗(yàn)次數(shù) 。 切比雪夫（ Chebyshev）不等式的應(yīng)用 ： （ 1）已知期望和方差 ,我們就可以利用切比雪夫不等式估計(jì)在期望的 ? 鄰域的概率 。 定義 4 設(shè) ),2,1)(( ??nxFn , )(xF 分別是隨機(jī)變量 ),2,1( ??nn? 及 ? 的分布函數(shù) ,若 )()( xFxF wn ? ?? ,則稱 ??n? 依分布收斂于 ? 亦記為 ?? ? ?? Ln 且有： (1)若 ?? ? ?? pn 則 ?? ? ?? Ln ； (2)設(shè) c為常數(shù) ,則 cpn ? ??? 的充要條件是 cLn ? ??? 。 預(yù)備知識(shí) 相關(guān)定義 在介紹大數(shù)定律之前 ,先介紹幾個(gè)相關(guān)定義： 定義 1 設(shè) ),2,1( ??nn? 為概率空間 ),( PF? 上定義的隨機(jī)變量序列（簡(jiǎn)稱隨即序列） ,若存在隨即變數(shù) ? 使對(duì)任意 0＞? ， 恒有： ? ? 0lim ????? ??? nn p或 ? ? 1lim ????? ??? nn p,則稱隨即序列｛ n? ｝依概率收斂于隨機(jī)變量 ? （ ? 也可以是一個(gè)常數(shù)） ， 并用下面的符號(hào)表示： 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 )(lim pnn ?? ??? 或 ?? ? ?? pn 定義 2 設(shè) ??n? 為一隨即序列 ,數(shù)學(xué)期望 )( nE? 存在 ,令 ???ni in n 11 ?? ,若 ? ? )()(lim PoE nnn ???? ?? ， 則稱隨 機(jī)序列 ??n? 服從大數(shù)定律 ， 或者說(shuō)大數(shù)法則成立 。 如果有大量的事例可供考察研究 ， 則這些未知的、不確定的力量將有趨于平衡的自然傾向 ， 那些在個(gè)別事例中存在的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)將在大數(shù)中消失 ， 這種結(jié)論就是概率論中的大數(shù)定律 。 但是 ， 任何事情的發(fā)生、發(fā)展都具有一定的客觀規(guī)律 。 這些例子能把 大數(shù)定律和中心極限定理 滲透到各種 實(shí)際 生活 中去 。 對(duì)問(wèn)題的分析與解答 ,注重集知識(shí)性、科學(xué)性與趣味性于一體 ,有助于啟迪思維 ,增長(zhǎng)知識(shí)面 ,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的知識(shí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ) 。 長(zhǎng)期以來(lái) ,在大批概率論統(tǒng)計(jì)工作者的不懈努力下 ,概率統(tǒng)計(jì)的理論更加完善 ,應(yīng)用更加廣泛 ,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要的地位 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科 ,起源于 17世紀(jì) ,發(fā)展到現(xiàn)在 ,已經(jīng)