極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文(完整版)
【正文】 00lim ( ) lim ( ) 1nnf x f x?????? 0lim ( ) 1x fx? ? 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 即：)()](l i m[))((l i m)()(l i m)]([)()()(l i m)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx??????????????處連續(xù)，則在且是復(fù)合函數(shù)，又若處連續(xù)，則在若 這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。 例 4： 求 2lim ( ) 22x x ctg x? ?? ?? 解 ：取 ( ) 2f x tg x? ， 則 22211l i m ( ) 222 l i m 2 ( 2 )2l i m22xxxx c t g x t g xt g x t gxx??????????? ? ? ????? 22( ) ( ) 1 1 12l im 2() ( 2 se c 2 )22 2xf x fxf xx???? ???? ? ? ??? ? 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)極限公式 1sinlim)(0 ?? xxAx exB xx ???? )11(lim)( 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形： ))((,))(11lim ()()0)((,1)( )(s inlim)()(39。 cAxfcxfc xxxx ???? ?? )(lim)(lim 00 （ c 為常數(shù)） 上述性質(zhì)對(duì)于 時(shí)也同樣成立???????? xxx , 總的說(shuō)來(lái)，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。 兩端除以 ny 得 1n nay y?? 因?yàn)?1ny y a?? ， 則na ay ? ， 從而 11na ay ? ? ? 1na y a? ? ? 即 ny 是有界的。本文 主要是對(duì)第二個(gè)問(wèn)題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。直到 19世紀(jì)，由 、K. (.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認(rèn)。 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法 , 1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限 , 2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限 , 3:利用兩個(gè)重要極限公式求極限 , 4：利用單側(cè)極限求極限， 5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 , 6：利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限 , 7：利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 , 8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 , 9：利用中值定理求極限 , 10：利用洛必達(dá)法則求極限 , 11：利用定積分求和式的極限 ,12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 , 13：利用泰勒展開(kāi)式求極限 , 14：利用換元法求極限。高等數(shù)學(xué)許多深層次的理論及其應(yīng)用都是極限的延拓和深化，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微積分等等都是由極限定義的，離開(kāi)了極限的思想高等數(shù)學(xué)就失去了基礎(chǔ)失去了價(jià)值，因此極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算。 求極限是數(shù)學(xué)分析中困難問(wèn)題之一，中心問(wèn)題有兩個(gè)：一、 證明極限的存在性，二、求解極限值。例如 ,3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)這一思想來(lái)近似地計(jì)算圓周率 ? 的。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。 1 2 3, , , , ny a y a a y a a a y a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 證明 ：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來(lái)看 ny 顯然是單調(diào)增加的。 若 B≠ 0 則： BAxgxfxgxfxxxxxx ?? ??? )(lim)(lim)()(lim000 3: 通常在這一類型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先要選好 ()fx。 利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限 利用級(jí)數(shù)收斂 的必要條件：若級(jí)數(shù)1 nn ????收斂，則 0( )n n? ? ? ?運(yùn)用這個(gè)方法首先判定級(jí)數(shù)1 nn ????收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限 。 例 12：求 sinlimxxx?? 解： 因?yàn)?sin 1x? 1lim 0x x?? ? 所以 sinlim 0xxx?? ? 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 定理 1 無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮?。礃O限是 0）。0( ?x xsin x~ ).0(, ?x 而 推 出 30 sin sintanlim x xxx ??= 0sin 30lim ??? xxxx 則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。39。xg xfax? 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。)(39。 例 20：求2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 解 ：由于2 2 2 2 2 21 1 2 ( 1 )n n nn n n n n? ? ?? ? ? ? 2221 1 1 12 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1( nnnnn????? ? ? ????????? 可取函數(shù)21() 1fx x? ?區(qū)間為 ? ?0,1 上述和式恰好是21() 1fx x? ? 在 ? ?0,1 上 n 等分的積分和。 參 考文獻(xiàn) [1] 陳傳璋 ,金福臨編 .數(shù)學(xué)分析（上下冊(cè)）第二版 [M]， 上海： 高等教育出版社 ,20xx: 123146 [2] 蔡子華主編 .20xx年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全（經(jīng)濟(jì)類） [M]， 北京：現(xiàn)代出版社 ,20xx:2546 [3] 馮麗珠 .變形法求極限的變法技巧 ， 湖北： 武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) [N], 20xx317 [4] 李小光 .求極限的若干技巧， 陜西： 西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) [N],20xx23 [5] 郝 梅 .求函數(shù)極限的方法 ，福建： 福建教育學(xué)校學(xué)報(bào) [N],20xx,(10): 1621 [6] 劉小軍 .高等數(shù)學(xué)解題方法 ，云南： 云南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院學(xué)報(bào) [N]， 20xx， （ 8） ： 3548 [7] 劉書(shū)田 .高等數(shù)學(xué) ，北京： 北京大學(xué)出版社 ， 20xx： 125168 [8] 郝 涌 .盧士堂等 .數(shù)學(xué)考研精解 [M]， 湖北： 華中理工大學(xué)出版社 ， 20xx： 2779 趙彥輝 20xx 年 4 月 11 日 。實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用，大家可以通過(guò)多做一些相應(yīng)的練習(xí)題來(lái)體會(huì)。當(dāng)然，這是 )(39。 )(
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