極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文(參考版)
2025-05-23 08:59本頁面
【正文】 參 考文獻(xiàn) [1] 陳傳璋 ,金福臨編 .數(shù)學(xué)分析（上下冊）第二版 [M]， 上海： 高等教育出版社 ,20xx: 123146 [2] 蔡子華主編 .20xx年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大全（經(jīng)濟(jì)類） [M]， 北京：現(xiàn)代出版社 ,20xx:2546 [3] 馮麗珠 .變形法求極限的變法技巧 ， 湖北： 武漢職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) [N], 20xx317 [4] 李小光 .求極限的若干技巧， 陜西： 西安航空技術(shù)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào) [N],20xx23 [5] 郝 梅 .求函數(shù)極限的方法 ，福建： 福建教育學(xué)校學(xué)報(bào) [N],20xx,(10): 1621 [6] 劉小軍 .高等數(shù)學(xué)解題方法 ，云南： 云南廣播電視大學(xué)理工學(xué)院學(xué)報(bào) [N]， 20xx， （ 8） ： 3548 [7] 劉書田 .高等數(shù)學(xué) ，北京： 北京大學(xué)出版社 ， 20xx： 125168 [8] 郝 涌 .盧士堂等 .數(shù)學(xué)考研精解 [M]， 湖北： 華中理工大學(xué)出版社 ， 20xx： 2779 趙彥輝 20xx 年 4 月 11 日 。 所以求極限時(shí)，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式．選擇適當(dāng)方法，只有方法得當(dāng)，才能準(zhǔn)確、快速、靈活的求解極限。 例 22： 求 11lim lnxxxxx?? 解 ：令 1xtx?? 則 ln ln( 1)xt?? 1 0 011l i m l i m l i m 1l n( 1 )l n l n( 1 )xx t txt tx x t t? ? ?? ? ? ??? 3 結(jié) 論 本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法 ,以上只是眾多求解極限方法 的一小部分，或許并不全面，大家如有興趣可以繼 續(xù)探索新的求解方法。實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用，大家可以通過多做一些相應(yīng)的練習(xí)題來體會(huì)。 例 20：求2 2 2 2 2 21l im 1 2 ( 1 )n n n nn n n n n?? ??? ? ???? ? ? ??? 解 ：由于2 2 2 2 2 21 1 2 ( 1 )n n nn n n n n? ? ?? ? ? ? 2221 1 1 12 1 11 1 ) 1 ( ) 1 ( )1( nnnnn????? ? ? ????????? 可取函數(shù)21() 1fx x? ?區(qū)間為 ? ?0,1 上述和式恰好是21() 1fx x? ? 在 ? ?0,1 上 n 等分的積分和。如作適當(dāng)?shù)淖儞Q，計(jì)算上就會(huì)更方便些，故 令 ,xt? 當(dāng) ??0x 時(shí)有 ??0t ，于是有 lim0??x xex?1 = 111 limlim 00 ????? ?? ?? tttt eet 利用定積分求和式的極限 利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù) ()fx。 xg 在 0x 的某鄰域內(nèi)必須滿足上述定理的條件。當(dāng)然，這是 )(39。)(39。)(39。 )(39。 )(39。xg xfax? 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。 當(dāng))( )(lim 39。 應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別求分子，分母的倒數(shù)，而不是求整個(gè)分式的倒數(shù)。00000000），則或可為實(shí)數(shù)，也可為內(nèi)可導(dǎo)，且的某空心鄰域在與 此定理是對 00 型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。39。39。現(xiàn)在我們將以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，這個(gè)方法通常稱為洛必達(dá)法則。 ()gx 在 [, ]ab 上不變號且可積，則在 [, ]ab 上至少有一點(diǎn) ? 使得 ( ) ( ) ( ) ( )bbaaf x g x f g x d x????? ? ?ab??? 例 15：求 40lim sinnn xdx???? 解 ： 40lim sinnn xdx???? lim si n ( 0)4nn????? ? ? ? 04?????????? lim(sin )4 nn? ???? 0? 洛必達(dá)法則求極限 在前面的敘述中，我們已經(jīng)提到了利用等價(jià)無窮小量來求函數(shù)的極限，在此筆者敘述一種牽涉到無窮小（大）量的比較的求極限的方法。0( ?x xsin x~ ).0(, ?x 而 推 出 30 sin sintanlim x xxx ??= 0sin 30lim ??? xxxx 則得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的。 例 13： (1)求 430 3lim(sin )2xxxx?? 解 ： 由 sin2x ～ 2x 4 3 4 33003lim lim 8()2 8xxx x x xxx??????? (2)求30 sin sintanlim x xxx ??的極限 解：由 ).c os1(c oss ins inta n xxxxx ??? 而 )0(,~sin ?xx ； ,2~cos1 2xx? （ x 0? ）； 33sin xx ? 3~ x , （ x 0? ） . 故有30 sin sintanlim x xxx ??= lim0?x 212cos132??? xxxx 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用 的 等價(jià)無窮小量，如：由于 1sinlim0 ?? xxx，故有 xsin ).0(,~ ?xx 又由于 ,1arctanlim0 ?? xxx故有 arctanx x~ ， (x 0? ). 另注：在利用等價(jià)無窮小代換求極限時(shí)，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。 等價(jià)無窮小量：當(dāng) 1yz?時(shí)，稱 ,yz是等價(jià)無窮小量：記為 y ～ z 在求極限過程中，往往可以把其中的無窮小量，或它的主要部分來代替。 說明 ：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量 x 換成 )(xg 時(shí)（ 0)( ?xg ），仍有上面的等價(jià) 關(guān)系成立，例如：當(dāng) 0?x 時(shí)， 3 1xe ? ～ 3x ； 2ln(1 )x? ～ 2x? 。 例 12：求 sinlimxxx?? 解： 因?yàn)?sin 1x? 1lim 0x x?? ? 所以 sinlim 0xxx?? ? 利用等價(jià)無窮小量代換求極限 定理 1 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是 0）。 例 11： 求01limln(1 )xxx x? ? 解 ：令 lnyu? , 1(1 )xux?? 因?yàn)?lnu 在點(diǎn)0 1lim ln(1 ) xxuex??? ? ?
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