極限求解的若干方法-應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 極限值的數(shù)列 {}ny 和 {}nz ，使得 n n ny x z??。 數(shù)學(xué)分析中的基本概念來(lái)表述，都可以用極限來(lái)描述。 本文主要探討、總結(jié)求極限的一般方法并補(bǔ)充利用級(jí)數(shù)收斂及利用積分 等 求極限的特殊方法 ,而且把每一種方法的特點(diǎn)及注意事項(xiàng)作了詳細(xì)重點(diǎn)說(shuō)明 ,并以實(shí)例加以例解 ,彌補(bǔ)了一般教材的不足。 極限 理論是一種近代發(fā)展起來(lái)的重要數(shù)學(xué)思想，也 是 數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)和首要的教學(xué) 內(nèi)容 。 另一類是函數(shù)的極限 ，它 也是微積分學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題 ,是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一 ,對(duì)函數(shù)極限概念的理解及對(duì)函數(shù)極限求法的掌握至關(guān)重要。早在中國(guó)古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。 例 2 證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。 (1) ? ?0 0 0l im ( ) ( ) l im ( ) l im ( )x x x x x xf x g x f x g x A B? ? ?? ? ? ? ? (2) ? ? BAxgxfxgxfxxxxxx ????? ??? )(lim)(lim)()(lim 000 2：兩收斂數(shù)列且作除數(shù)的數(shù)列的極限不為零，則商的極限等于極限的商。 例 3： 求極限 (1) 221lim 21x xxx? ?? (2) 312lim 3xxx???? (3) 31 13lim ( )11x xx?? ??? (4) 已知 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nx nn? ? ? ?? ? ? ?， 求 limnn x?? 解 ： (1) 221 1 11 ( 1 ) ( 1 ) 1 2l im l im l im2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) 2 1 3x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? (2) 3 3 31 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 3 1l im l im l im34( 3 ) ( 1 2 ) ( 3 ) ( 1 2 )x x xx x x xx x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? (3) 31 13lim ( )11x xx?? ??? 23 2 21 1 12 ( 1 ) ( 2 ) 2l im l im l im 11 ( 1 ) ( 1 ) 1x x xx x x x xx x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? (4) 因?yàn)? 1 1 11 2 2 3 ( 1 )nx nn? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 4 1 1n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???11 n?? 所以 1lim lim (1 ) 1nnnx n? ? ? ?? ? ? 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù) ()fx在 0x 附近有定義， x?? ， 則 00( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ?， 如果 0000( ) ( )lim limxxf x x f xyxx? ? ? ?? ? ?? ???存在，則此極限值就稱函數(shù) ()fx在點(diǎn) 0x 的導(dǎo)數(shù)記為0()fx? .即 000 0 ( ) ( )( ) = limx f x x f xfx x?? ? ? ?? ?在這種方法的運(yùn)用過(guò)程中。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。如果0lim ( ) 0xxfx? ?, ()gx 在某區(qū)間 0 0 0 0( , ), ( , )x x x x????有界，那么0lim ( ) ( ) 0xx f x g x? ??.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界和 另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問(wèn)題。如上 式 中 ， 若 因 有 tanx x~ ， )。39。39。 xgxf 仍是 00 型的不定式極限，只要有可能，我們可再次利用洛比達(dá)法則，即考察極限 lim0xx? )(39。把所求極限的和式表 示成 ()fx在某區(qū)間 ? ?,ab 上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限。因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)博大精深，我們目前只接觸到一點(diǎn)點(diǎn)而已，我們應(yīng)不停的接受知識(shí)，雖 然我們還處在那數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)層，但這并不妨礙我們對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)與學(xué)習(xí) 。 泰勒展開(kāi)式：若 ()fx在 0x? 點(diǎn)有直到 1n? 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,那? ? ? ?///2 ( ) ( )( 0 ) ( 0 ) ( )2 ! !n n nf x f xf x f f x x x R xn? ? ? ? ? ? ( 1) 1()()( 1)!n nn fR x xn ?? ??? ? ?01??? 例 21：求 2240coslim xxxex ??? 解 ：泰勒展開(kāi)式 24 5c o s 1 0 ( )2 2 4xxxx? ? ? ? 2 24 52 1 0 ( )2 1 2x xxex? ? ? ? ? 于是 2 4 52c o s 0 ( )12x xx e x?? ? ? ? 所以2 4 5244000( )c os 112li m li m12xxxx xxexx?????? ? ? ? 換元法求極限 當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡(jiǎn)化易求。 xf 和 )(39。xgxf =lim??x xx x 2sectan2 sin? = lim??x 212cos3 ?x 故 由洛比達(dá)法則求得， lim0xx? )()(xgxf =lim0xx? )(39。 注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 要注意條件 ，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為 ??,00 時(shí)不可求導(dǎo)。我們把兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量的比的極限統(tǒng)稱為不定式極限，分別記作00型或??型的不定式極限。 定理 3 如果函數(shù) 11( ), ( ), ( ), ( )f x g x f x g x都是 0xx? 時(shí)的無(wú)窮小，且 )(xf ～ )(1xf ，)(xg ～ )(1xg ，則當(dāng)011()lim ()xxfxgx?存在時(shí) ，0()lim ()xxfxgx?也存在且等于011()lim ()xxfxgx?， 即)( )(lim0 xg xfxx?=)( )(lim 110 xg xfxx?。 例 10： 21si n , 0()1 , 0xxfx xxx? ??? ????? 求 ()fx在 0x? 的左右極限 解 ：01lim sin 1n x x?? ?? 01lim sin 1n x x?? ??
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