【正文】 那么當(dāng)時(shí)，命題也正確”，由此同樣可以證明對(duì)于所有命題都正確。從而推出這個(gè)命題在自然數(shù)中都是成立的。下面用例題來說明： 證明：所有的正整數(shù)都相等。如果只有奠基步驟，而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。下面舉例說明． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 證明：(1)當(dāng)時(shí)，左邊，右邊 ∴左邊=右邊(2)假設(shè)時(shí)，等式成立．即 當(dāng)時(shí)， ∴當(dāng)時(shí)，等式也成立。 即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。4．2 證明不等式 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式兩種．嚴(yán)格不等式的證明，只要保證原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．對(duì)于非嚴(yán)格不等式，情況略顯復(fù)雜，在證明過程的第一步驗(yàn)證中，對(duì)于“”或“”的處理，存在兩種不同的看法，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，既要驗(yàn)證“”成立，也要說明成立。 例 求證： 證明：（1）當(dāng)時(shí)，左邊==右邊 ∴不等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即 令 那么當(dāng)時(shí)，令 則有 ∴ 由歸納假設(shè)知，則 即當(dāng)時(shí)，命題成立。由1），2）可知，對(duì)一切，都有 故的最大值為。 證明幾何問題 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)重要應(yīng)用。 行列式與矩陣的證明 行列式與矩陣的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。計(jì)算行列式與矩陣的方法比較靈活，同一行列式與矩陣可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用。上述錯(cuò)證，竟把錯(cuò)誤的結(jié)論“證明”出來了，豈非怪哉？此種怪現(xiàn)象出現(xiàn)的原因，就是缺少歸納奠定這一步。上述的證明方法表象似乎是“數(shù)學(xué)歸納法”，其實(shí)不是，因?yàn)榈诙接赏茖?dǎo)時(shí)，沒有用到歸納假設(shè)來證明不等式成立，這就好像接力賽跑一樣沒有由前一個(gè)將接力棒傳給。上例假設(shè)是為正整數(shù)，而我們第一步驗(yàn)證，這時(shí)命題顯然成立，這比直接驗(yàn)證要容易的多。這里運(yùn)用了“起點(diǎn)后挪”的技巧[7]。假設(shè)當(dāng)時(shí)，就有，命題也成立。在上面的論證中，僅僅改變了假設(shè)的方式，而這種改變并未造成邏輯上的不合理，相反卻有利歸納過渡，因而是十分可取的。這種假設(shè)形式。記得在剛剛確定論文課題的開始，導(dǎo)師就很耐心地幫助我，比個(gè)根據(jù)對(duì)我自身的特點(diǎn)給了我?guī)讉€(gè)比較合適的課題；還有在撰寫論文的過程中，老師也是隨時(shí)地提醒我要注意論文撰寫的進(jìn)度以及一些相關(guān)要求。對(duì)于一些用常規(guī)的分析綜合法不容易證明的題，用數(shù)學(xué)歸納法往往會(huì)得到一些意想不到的好結(jié)果。為證都不是5的倍數(shù)，以記其被5除所得的余數(shù)，于是由已證部分知，且由遞推公式知。事實(shí)上，“”往往可以用“”或“，”等等來代替。（2） 假設(shè)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，只需再加一個(gè)3即可，顯然成立?！?由于，欲使上式大于0，必有，即k34。證明：（1）當(dāng)時(shí)，顯然成立。歸納奠基步驟決不能少。 錯(cuò)證：假設(shè)時(shí)等式成立，即 則當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)等式成立。 證明范得蒙行列式：其中 證明 ：（1）當(dāng)時(shí)，等式成立。求證：這個(gè)圓把平面分成個(gè)部分。證明： 1) 時(shí)，能被整除。 若不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立，求正整數(shù)的最大值，并證明你的結(jié)論。事實(shí)上，用數(shù)學(xué)歸納法證明非嚴(yán)格不等式時(shí)，是或的基礎(chǔ)。從個(gè)不同的元素里每次取個(gè)元素所有不同的排列數(shù)，可以用符號(hào)來表示。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明和都是有理數(shù)。不能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，這類命題解題時(shí)，一般通過下面的兩種途徑為應(yīng)用歸納假設(shè)創(chuàng)造條件,先將代入原式，然后將所得表達(dá)式作適當(dāng)?shù)淖儞Q，從而得到結(jié)論；利用其它數(shù)學(xué)知識(shí)，建立與的聯(lián)系，從而得到結(jié)論成立，對(duì)于這種類型題目在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的概率也是很大的。分析：當(dāng)?shù)臅r(shí)候，式子的值都是素?cái)?shù),即使如此，我們還不能確立是任何正整數(shù)的時(shí)候，這個(gè)式子的值都是素?cái)?shù)，事實(shí)上，只要的時(shí)候它的值就不是素?cái)?shù)。 三個(gè)步驟缺一不可在實(shí)際的教學(xué)過程中，重點(diǎn)在于如何利用假設(shè)時(shí)命題的結(jié)論來推出時(shí)命題也成立，因?yàn)橹暗膬刹肯喈?dāng)于第三步而言比較簡單，因此，學(xué)生做題時(shí)往往會(huì)在第三步感到困難，然而，即使學(xué)生經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，能夠一步不漏正確的做下來，學(xué)生多半仍處于知其然不知所以然的處境，有不少學(xué)生心中疑問：為什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代個(gè)最簡單的數(shù)字進(jìn)去看看命題對(duì)不對(duì)，這一步會(huì)有多少作用，為什么非要不可。 假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即， 當(dāng)時(shí)，因?yàn)? 又 于是 因?yàn)樗? 又因?yàn)?故 解得 或 所以時(shí)命題也成立，從而對(duì)任意自然數(shù)，命題成立。(1)不一定從開始，也就是數(shù)學(xué)歸納法里的兩句話，可以改成：如果當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題是正確的，又從假設(shè)當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題是正確的，可以推出當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題也是正確的，那么這個(gè)命題時(shí)都正確。 證明：在這集合里任意取一個(gè)數(shù),大于的不必討論了，我們需要討論的是那些不大于n的自然數(shù)里一定有一個(gè)最小的數(shù)。 數(shù)學(xué)歸納法基本原理及其其它形式 數(shù)學(xué)歸納法概念數(shù)學(xué)歸納法概念: 數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。不完全歸納法所得到的命題并不一定成立，所以這種方法并不能作為一種論證方法．但是，不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段。但真正比較明確使用數(shù)學(xué)歸納法的是意大利數(shù)學(xué)家、物理天文學(xué)家和工程師莫洛里科斯（F. Maurolycus, 1494 1575），真正明確數(shù)學(xué)歸納法證明兩步的應(yīng)該還是17世紀(jì)的數(shù)學(xué)家帕斯卡( B. Pascal, 1623 ~1662)，他最早將數(shù)學(xué)歸納法的證明用形式的兩步明確下來。 引言 數(shù)學(xué)歸納法是用來