【正文】 證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法。當(dāng)然老師會說這是非常完整的,那么他們又是根據(jù)什么原理來說明自己是正確的呢。 數(shù)學(xué)歸納法的來源數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個(gè)較長的歷史時(shí)期，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯利用點(diǎn)子數(shù)對級數(shù)求和問題進(jìn)行探討．他確信無疑地得出：畢達(dá)哥拉斯可能以為這就是一種證明，他的幾乎所有的有關(guān)點(diǎn)子數(shù)的命題，都是由有限個(gè)特殊情況而作出一般的結(jié)論，但這種推理只是簡單的枚舉而沒有碰到矛盾事實(shí)的歸納結(jié)果，因此是不完全的歸納推。 歸納法 歸納法是由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫做歸納推理。完全歸納法是一種在研究了事物的所有（有限種）特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法。 其中的性質(zhì)(5)是數(shù)學(xué)歸納法的根據(jù)，有了這一原理，就有了數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)是與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果： (1)命題當(dāng)時(shí)正確，即正確 (2)在假設(shè)正確的前提下，可以證明命題也正確，那么命題對任意正整數(shù)都是正確的。 從袋子里摸球問題 如果袋子里的東西是有限的，總可以把它摸完而得出一個(gè)確定的結(jié)論，但是，當(dāng)東西是無窮的，怎么辦？如果有這樣一個(gè)論證：“當(dāng)你這一次摸出紅玻璃球的時(shí)候，下一次摸出的，也一定是紅玻璃球”，那么，在這樣的保證下，只要第一次摸出的確定是紅玻璃球，就可以不再檢查地作出正確的結(jié)論：“袋里的東西，全部是紅玻璃球”。這種屬于第二數(shù)學(xué)歸納法的“變著”。 對任意正自然數(shù)，有。 這個(gè)命題顯然是荒謬的，但是如果我們丟開“當(dāng)?shù)臅r(shí)候，這個(gè)命題是正確的”不管，那么可以用“數(shù)學(xué)歸納法”來“證明”它。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟的假設(shè)就失去了依據(jù)，從而使歸納法步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結(jié)果也是建立在不可靠的基礎(chǔ)上，所以仍然不能斷定原命題是否正確。 由(1)(2)知，等式對任何都成立。 綜合①、②可知，對任意正整數(shù)，是有理數(shù)。只有如此，才能更充分地體現(xiàn)非嚴(yán)格不等式成立。 根據(jù)（1）和（2），可知命題對任何都成立。 4．3 證明整除問題應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題，是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運(yùn)用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。當(dāng)然，任何一個(gè)n 階行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值。在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，再考察它是否能用常用的幾種方法，如果行列式與矩陣中有與自然數(shù)有關(guān)，我們可考慮用數(shù)學(xué)歸納法去證明，再利用它們的性質(zhì)對它進(jìn)行變換，然后求解。切莫以為歸納奠定這一步就是“當(dāng)時(shí)命題正確”這么一句話，似乎無關(guān)緊要，可有可無。6 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)的一些技巧 靈活選取“起點(diǎn)” 第一步驗(yàn)證時(shí)，一般情況下也總能把命題證明出來，但對有些問題，則必須根據(jù)題目具體條件，對第一步做些調(diào)整，靈活選取起點(diǎn)，比如，適當(dāng)?shù)膶⑵瘘c(diǎn)前移或后挪，會對問題的解決大有幫助。并且這樣選擇的“起點(diǎn)”并不影響后面的遞推步，在這種情形下是允許這樣做的。 恰當(dāng)選取“跨度”在歸納中，有時(shí)采用較大的跨度更為方便，就可以改變跨度，不過應(yīng)注意隨之而起點(diǎn)增多。則對一切自然數(shù)不定方程都有正整數(shù)解。 以“假設(shè)，時(shí)成立”代替“假設(shè)時(shí)成立” 有時(shí)也會碰到一些問題，它們的歸納需要依賴于前面兩個(gè)命題同時(shí)成立，這時(shí)就應(yīng)當(dāng)用“假設(shè)，時(shí)成立”來代替通常的“假設(shè)時(shí)成立”，不過這樣一來，起點(diǎn)也應(yīng)增多為兩個(gè)，否則，后面所作的假設(shè)就變得沒有依據(jù)，整個(gè)論證也就變得不可信了。7 數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用數(shù)學(xué)歸納法在討論涉及正數(shù)無限性的問題時(shí)，是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它的地位和作用可以從以下三個(gè)方面來看：（1）中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多重要結(jié)論，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式、二項(xiàng)公式定理等都可以用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。所以，這篇論文并不僅僅是我個(gè)人的勞動成果，假如沒有導(dǎo)師的指導(dǎo)和支持，我的畢業(yè)論文肯定完成得不是那么順利。（2）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多數(shù)學(xué)問題，如與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、一些整除問題、一些幾何問題等，既可以開闊眼界，又可以受到推理論證的訓(xùn)練。證明：為了便于使用歸納法，：，因而就有 故知 ，即有 . 又當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，故知當(dāng)與2時(shí)，都是整數(shù)且不為5的倍數(shù)，現(xiàn)假設(shè)，時(shí)，也都是整數(shù)，于是由遞推關(guān)系式 知當(dāng)時(shí)，都是整數(shù)。 選取合適的假設(shè)方式同“起點(diǎn)”和“跨度”一樣，歸納法的假設(shè)也可以是“因勢而異”的，不一定非要拘泥于“假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立”不可。證明：（1）當(dāng)=8，9,10時(shí)，命題成立，由8=5+3,9=3+3+3,10=5+3知命題成立。 分析：不妨先看看第二步， 假設(shè)時(shí)，有。 若、為正整數(shù)，則能被整除。因此，只有歸納遞推、沒有歸納奠定基礎(chǔ)的論證是錯(cuò)誤的。 忽略了歸納奠定基礎(chǔ)的必要性 試證 。如果選擇好的方法，從而達(dá)到化繁為簡的功效。 例 平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)。 證明能被整除。而不等式加強(qiáng)的形式是多樣的，其中規(guī)律有法可循——根據(jù)要證不等式的形式進(jìn)行構(gòu)造。從邏輯連接詞的角度，我傾向于后者。”排列的種數(shù)，稱做排列數(shù)。 （1）求證：是有理數(shù)； （2）求證：對任意正整數(shù)，是有理數(shù)． 證明：(1)由、為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的，就中學(xué)教材而論，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題大概有兩種類型：能直接應(yīng)用歸納假設(shè)來證明的，證明這類問題時(shí)，通常在歸納假設(shè)的兩邊同加（或同減）某項(xiàng)，通過適當(dāng)變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學(xué)的課本中比較常見。 在正自然數(shù)上都是素?cái)?shù)。 (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式也成立，則有 (3)當(dāng)時(shí)，