【正文】 大的研究意義。利用它可以使非齊次方程的求解歸結(jié)為相應(yīng)的齊次方程的求解，類似于常微分方程中的常數(shù)變易法。此外，對于波動方程、熱傳導(dǎo)方程的初值以及初邊值問題的齊次情形，本文也給出了詳細(xì)的求解過程。第三章是波動方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用。對于熱傳導(dǎo)方程，一般是利用傅里葉變換來求解的，但是對于非齊次的情形，傅里葉變換則顯得頗為復(fù)雜，于是本論文利用齊次化原理對其進(jìn)行求解，簡化了求解過程。常微分方程一般可以分為線性以及非線性微分方程，本章就線性微分方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行討論。于是，令，得到 （）其中為任意常數(shù)。根據(jù)疊加原理，我們把方程（）與（）的解疊加起來便成為了方程的通解，即于是我們就可以得到方程 （）的解為， （）對比用常數(shù)變易法求出的結(jié)論（）與用齊次化原理得出的結(jié)論（），我們可以看到兩個(gè)結(jié)果是相同的，故這也證明了齊次化原理在一階線性常微分求解中是可行的，而且比起常數(shù)變易法，齊次化原理要更簡單直接。注：齊次化原理還可以應(yīng)用于非齊次常系數(shù)微分方程的求解中，本文不予以討論。本章重點(diǎn)介紹在波動方程的初值問題（柯西問題）以及初邊值問題（混合問題）的求解過程中，如何應(yīng)用齊次化原理將非齊次的方程的求解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程求解，從而求出非齊次方程解的表達(dá)式。非齊次波動方程的初值問題具有以下形式， （）由于上述方程是線性的，故我們可以利用疊加原理進(jìn)行求解。（2）非齊次方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用對于初值問題（ii），我們可以利用齊次化原理把非齊次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程來求解。 波動方程初邊值問題的求解上一節(jié)我們研究了在波動方程的初值問題中，如何運(yùn)用齊次化原理將非齊次方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程進(jìn)行求解的問題。1） 當(dāng)時(shí)，方程（）的通解可以表示為，要讓它滿足邊界條件，則有由于于是只能有，即方程只有平凡解。非齊次波動方程的初邊值問題具有以下形式： （）方程是線性的，同樣可以應(yīng)用疊加原理進(jìn)行求解，從而我們可以把方程分解為，（I）（II）于是，若已知（I）與（II）的解分別為，則方程（）的解為，對于方程（I），我們可以直接利用（）的結(jié)論，得出它的解為： （）其中，下面我們引出齊次化原理，并求解方程（II）。下面我們簡單介紹在波動方程的初邊值問題中邊界條件是非齊次的情形下，如何轉(zhuǎn)化方程進(jìn)而求解方程。進(jìn)而得出（），這樣就可以得到問題（III）的解最后根據(jù)疊加原理得出方程（）的解。類似于波動方程，熱傳導(dǎo)方程也有初值和初邊值問題，并且都有齊次與非齊次的情形。首先，從簡單的齊次初值問題入手，并利用傅里葉變換對其進(jìn)行求解。在第三章波動方程的求解中，我們用分離變量的方法求解初邊值問題，同樣的，在熱傳導(dǎo)方程中，對于齊次邊界的情形我們同樣使用分離變量法進(jìn)行求解。同樣的，基于齊次方程的解，我們利用齊次化原理對非齊次方程進(jìn)行求解。在方程（）中，令，則方程可轉(zhuǎn)化為 （）直接利用上一節(jié)的結(jié)論，可知方程（）的解為 （）其中，再把代入（）即可得出方程（）的解 （）其中于是，由齊次化原理可求得方程（II）的解， （）其中，最后，根據(jù)疊加原理，可得到方程（）的解其中， 其他邊界條件情形下齊次化原理的應(yīng)用在前面兩節(jié)中，我們分別討論了熱傳導(dǎo)方程的初值問題以及初邊值問題，且邊界條件都是齊次的。令 （）顯然，它是一個(gè)滿足方程（III）中邊界條件的函數(shù)。（熱傳導(dǎo)方程）齊次情形下初邊值問題的解，再應(yīng)用齊次化原理將非齊次情形的初邊值問題進(jìn)行求解。對于我們論文完成的進(jìn)度，老師更是認(rèn)真負(fù)責(zé)，每周見面都會仔細(xì)檢查我們的進(jìn)度，并提出他的見解，督促我們完成指導(dǎo)紀(jì)要。[4]方瑛、徐忠昌，數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)，北京科學(xué)出版社，2007年。附錄2：傅里葉變換的基本性質(zhì)性質(zhì)1：傅里葉變換是線性變換，即對于任意的常數(shù)，有性質(zhì)2：平移性 設(shè)是的傅里葉變換，為實(shí)常數(shù)，則性質(zhì)3：相似性 若是的傅里葉變換，為實(shí)常數(shù)，且，則性質(zhì)4：微分性 假定連續(xù)且在上分段光滑，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)均為絕對可積時(shí)，有。[6]王高雄、周之銘、朱思銘、王壽松，常微分方程，第三版，高等教育出版社，2006年7月。溫文爾雅是老師性格的深度，博學(xué)多才是老師智慧的廣度，出類拔萃是老師學(xué)識的高度。當(dāng)然，由于本身知識欠缺的問題，論文還有很多不足之處：，齊次化原理還可以應(yīng)用于常系數(shù)微分方程的求解本論文沒有深入討論； ，本論文只討論了一維的情形，齊次化原理可以推廣到高維非齊次方程的求解中； ，本文只探討了簡單的在非齊次邊界條件下，如何將非齊次邊界轉(zhuǎn)化為齊次邊界，進(jìn)而利用齊次化原理進(jìn)行求解，沒有更深入的展開。因此根據(jù)疊加原理以及齊次化原理求出，進(jìn)而由（）求出方程（3）的解。（1）其他齊次邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用，我們給出的齊次邊界條件為：。齊次化原理如果是方程 （）的解，那么就是方程（II）的解。令，其中表示僅與有關(guān)的函數(shù)，表示僅與有關(guān)的函數(shù)。非齊次熱傳導(dǎo)方程，即 （）方程是線性的，故可以分解簡化為兩個(gè)方程，即（1）（2） 在上一節(jié)中，我們已經(jīng)得出了方程（1）的解，下面我們引出齊次化原理求出方程（2）的解，再應(yīng)用疊加原理最后得出方程（）的解。然而對于非齊次的情形，傅里葉變換則顯得頗為復(fù)雜，所以本章就非齊次的情形，提出齊次化原理，對非齊次方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化之后再求解，簡化了求解過程。通過本章的內(nèi)容，我們可以得知，齊次化原理在求解非齊次波動方程的過程中起到了極大的作用，并且通過對最終解的驗(yàn)證也證明了齊次化原理的可行性。根據(jù)疊加原理，這個(gè)問題可以分解為（I）、（II）（）以及（III）所以方程（）的解為。在波動方程的初值問題中，我們已經(jīng)驗(yàn)證了齊次化原理是成立的。再由可知，若，則只有于是就有， （）從而可得到一組非零解 （）然后將代入到方程（）中，就可以得到它的通解， （）其中，為任意常數(shù)。下面我們繼續(xù)討論在波動方程的初邊值問題中，如何運(yùn)用齊次化原理將非齊次方程轉(zhuǎn)化為其相應(yīng)的齊次方程，并求出方程解的表達(dá)式。在方程 （）中，令，則方程便可轉(zhuǎn)化