齊次化原理的應(yīng)用畢業(yè)論文-全文預(yù)覽
【正文】 是方程 （）的解。由（）、（）可解出： （）把代入（），就可得到（）的解，這個(gè)表達(dá)式也稱之為達(dá)朗貝爾公式。我們知道在微分方程的求解中，齊次方程的解往往是非齊次方程求解的基礎(chǔ)，故本章針對(duì)波動(dòng)方程的初值以及初邊值問題的求解，都最先從齊次方程的求解開始討論。研究這幾個(gè)方程的求解對(duì)于其他偏微分方程的求解具有重要意義。除此之外，齊次化原理更廣泛應(yīng)用于偏微分方程的求解中，以下的章節(jié)將具體介紹齊次化原理在波動(dòng)方程以及熱傳導(dǎo)方程的求解中的應(yīng)用。由齊次化原理得（2）的解可以表示為。本節(jié)將概要介紹齊次化原理在高階線性非齊次微分方程以及高階線性非齊次方程組求解過程中的應(yīng)用。在方程（）中，由，容易得出 （）令，代入（）即可得到 （）并由方程（）的初值條件可知， （）于是方程（）的解為 （）設(shè)方程（）的解 （）于是，于是，這就證明了 （）是方程（）的解，且滿足。在（）中，令常數(shù)變易為的函數(shù)，于是可得到 （）對(duì)其進(jìn)行微分，可得 （）把（）及（）代入到（），即得到，即，兩邊積分后，得，把得到的代入（）就可得到方程（）的通解， （）其中為任意常數(shù)特別的，如果方程（）給出了初始條件，則滿足這個(gè)初始條件的解為， （） 齊次化原理與一階線性非齊次微分方程的求解在上一節(jié)中，我們用常數(shù)變易法求解出了一階線性非齊次微分方程的通解，并求出了滿足初始條件的解。首先求出齊次方程的通解。最后將齊次化原理進(jìn)行推廣，將其應(yīng)用到了高階線性非齊次微分方程以及線性方程組的求解中。所以常微分是可以解決很多實(shí)際問題的一種重要工具。對(duì)于初邊值問題，類似于波動(dòng)方程，運(yùn)用分離變量法對(duì)齊次問題進(jìn)行了求解，再利用齊次化原理得出非齊次情形的解。本章的最后還對(duì)非齊次邊界條件的非齊次方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行了概要性討論。在初值問題的求解中，首先運(yùn)用達(dá)朗貝爾解法給出齊次方程的求解，并得出了達(dá)朗貝爾表達(dá)式。兩種方法得出的結(jié)論是一致的。本論文的主要內(nèi)容共有3章，分別是線性常微分方程、波動(dòng)方程以及熱傳導(dǎo)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用。而對(duì)于調(diào)和方程，一般都用函數(shù)對(duì)其進(jìn)行求解，本文不予以討論。此后，齊次化原理被推廣應(yīng)用到了非齊次線性常微分方程以及常微分方程組的求解中。 西南交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 第Ⅵ頁齊次化原理的應(yīng)用畢業(yè)論文目 錄第1章 緒論 1 齊次化原理 1 論文研究的主要內(nèi)容及意義 1第2章 常微分方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 3 用常數(shù)變易法求解一階線性非齊次微分方程 3 齊次化原理與一階線性微分方程的求解 4 齊次化原理的推廣 6 小結(jié) 7第3章 波動(dòng)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 8 初值問題的求解 8 齊次初值問題的求解 8 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 10 初邊值問題的求解 14 齊次初邊值問題的求解 14 非齊次初邊值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 17 非齊次邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用 20 小結(jié) 20第4章 熱傳導(dǎo)方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 22 初值問題的求解 22 齊次初值問題的求解 22 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 23 初邊值問題的求解 25 齊次初邊值問題的求解 25 非齊次初值問題的求解與齊次化原理的應(yīng)用 27 其他邊界條件下齊次化原理的應(yīng)用 29 小結(jié) 31結(jié)論 32致謝 33參考文獻(xiàn) 34附錄 35 西南交通大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文) 第37頁第1章 緒論齊次化原理可以廣泛地應(yīng)用于各種微分方程的求解中，研究其在不同微分方程求解過程中的具體應(yīng)用，有助于我們更好地求解微分方程。齊次化原理最初被廣泛地應(yīng)用于非齊次線性雙曲型以及拋物型偏微分方程的求解中，對(duì)于數(shù)學(xué)物理方程等學(xué)科的研究具有重要意義。在偏微分方程中，波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程以及調(diào)和方程是三個(gè)具有很強(qiáng)實(shí)際背景意義的二階線性偏微分方程，研究這三類方程的求解對(duì)于整個(gè)偏微分方程都有著重大意義。齊次化原理也是求解非齊次線性常微分方程的一種方法，于是本文也就常微分方程以及方程組的求解與齊次化原理的應(yīng)用進(jìn)行了概要性的描述。首先用最熟知的常數(shù)變易法求解一階線性非齊次常微分方程，并在已知初值條件情況下，求出滿足條件的解；然后用齊次化原理將已知初值條件的一階線性非齊次方程的求解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的齊次方程來求解，最終得出非齊次方程的解。本章主要論述了波動(dòng)方程初值問題以及初邊值問題的求解。對(duì)于非齊次方程，也是利用齊次化原理進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，最終得出非齊次方程的解，并進(jìn)行了驗(yàn)證。對(duì)于熱傳導(dǎo)方程的齊次初值問題本論文利用傅里葉變換得出解的表達(dá)式，進(jìn)而求解非齊次初值問題時(shí)，引入齊次化原理并對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，證明齊次化原理在熱傳導(dǎo)方程求解中依然成立，然后利用齊次化原理得出了非齊次方程的解。第2章常微分方程的求解與齊次化原理的應(yīng)用 常微分方程在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中，占據(jù)著極其重要的地位，在現(xiàn)實(shí)生活中，存在著大量滿足常微分方程的數(shù)學(xué)模型，人們可以通過應(yīng)用這樣的模型來解決未知的問題。本章首先運(yùn)用常數(shù)變易法求出一階線性非齊次微分方程的通解以及在已知初始條件情況下滿足方程的特解，然后引出齊次化原理再予以證明，隨后運(yùn)用齊次化原理求出滿足方程以及初始條件的解，兩種方法得出的結(jié)論是一致的。一階線性非齊次常微分方程具有以下形式， （）其中，是的連續(xù)函數(shù)。下面運(yùn)用常數(shù)變易法，求解非齊次方程（）的通解。下面驗(yàn)證齊次化原理是成立的。 齊次化原理的推廣齊次化原理不僅僅可以用于求解一階線性非齊次微分方程，還可以應(yīng)用于高階線性非齊次微分方程以及方程組的求解。其中，證明：類似于求解一階線性常微分的方法，通過齊次化原理，我們可以得到以下結(jié)論：若是方程組（1）的基解矩陣，那么它的通解是，于是（1）的解就是。 小
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