【正文】 時(shí)，等式也成立綜上所述，等式對一切正自然數(shù)都成立。命題成立。 數(shù)學(xué)歸納法的其它形式數(shù)學(xué)歸納法原理本質(zhì)上來看由兩個(gè)重要步驟構(gòu)成，首先是奠基步，這往往比較容易，但卻是必須的，然后需要一個(gè)一般意義的演繹規(guī)則，按照這個(gè)演繹規(guī)則，反復(fù)應(yīng)用，從奠基步開始，在有限步之內(nèi)達(dá)到任意指定的情形，通常，這個(gè)一般的演繹規(guī)則是從所謂的歸納法假設(shè)開始，從較少規(guī)模成立的假設(shè)推導(dǎo)出較大規(guī)模的情形成立，從而建立一個(gè)一般的演繹規(guī)則，因此，從這一本質(zhì)出發(fā)，數(shù)學(xué)歸納法可演繹出豐富的“變著”，概括起來有兩個(gè)方面：一是奠基點(diǎn)的前提或后推，增多或減少：二是遞推跨度和遞推途徑的變通，而正是因?yàn)槭恰白冎钡亩鄻有院蛻?yīng)用技巧的靈活性，才使數(shù)學(xué)歸納法顯示出廣泛的應(yīng)用性。命題1：任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)。通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時(shí)，采用完全歸納法。不完全歸納法是根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法。 而對于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，李文林翻譯的美國數(shù)學(xué)史《數(shù)學(xué)史通論》（第二版）中，十四世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、（Levi ben Gerson,12881344）在其1321年出版的代表作《計(jì)算技術(shù)》中也已經(jīng)“本質(zhì)上使用了數(shù)學(xué)歸納法”，更有資料表明，在中世紀(jì)伊斯蘭數(shù)學(xué)中就已經(jīng)較清楚、廣泛地使用了數(shù)學(xué)歸納法及其原理[2]。要解決這些問題都要求我們對數(shù)學(xué)歸納法有著深刻的理解。我想如果能夠?qū)W(xué)生們講清楚數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)和由來，可以使學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)歸納法和它的運(yùn)用，在用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，當(dāng)然我們會知道這個(gè)恒等式肯定是正確的，那么它又是如何被前人計(jì)算出來的呢，數(shù)學(xué)歸納法只是證明這個(gè)等式的正確性而不能求解，可見數(shù)學(xué)歸納法也有著自己的限制和適用范圍，那么在這個(gè)等式的成立過程中數(shù)學(xué)歸納法到底扮演一個(gè)什么樣的角色呢。．盡管如此，他仍為數(shù)學(xué)歸納法的確定奠定了一定的基礎(chǔ)。根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，歸納法又可分為不完全歸納法和完全歸納法[2]。與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的。數(shù)學(xué)歸納法的正確性驗(yàn)證是根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的原理，能否完成對與自然數(shù)有關(guān)命題的無限次論證，即數(shù)學(xué)歸納法是否可靠，下面我將結(jié)合“正整數(shù)最小原理”，即“任何非空正整數(shù)集合一定含有最小數(shù)”來驗(yàn)證數(shù)學(xué)歸納法是否正確。 上面的道理采用形式上的講法，也就是：有一批編了號碼的數(shù)學(xué)命題，能夠證明第號命題正確，如果能夠證明在第號命題正確的時(shí)候，第號命題也正確，那么，這一批命題就全部正確。 我們知道，對于任意自然數(shù)，有,反之，若，且,有成立嗎？證明：當(dāng)時(shí)，由及,得。證明：(1)當(dāng)時(shí)，所以等式成立。 這里，第號命題是：“第個(gè)正整數(shù)等于第個(gè)正整數(shù)”，就是兩邊都加上，就得這就是說，第個(gè)正整數(shù)等于第個(gè)正整數(shù)，這不是說明了所有的正整數(shù)都相等了嗎？錯(cuò)誤就在于，我們沒有考慮的情況。所以，用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，關(guān)鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關(guān)鍵在于合理應(yīng)用假設(shè)。 （2010江蘇卷（理科））已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。數(shù)學(xué)歸納法最簡單的應(yīng)用之一，是用來研究排列和組合的公式，通過高中的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)知道：“從個(gè)不同的元素里，每次取個(gè)，按照一定的順序擺成一排，稱做從個(gè)元素里每次取出個(gè)元素的排列。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為：在第一步中，只要證明或有一個(gè)成立，即可說明非嚴(yán)格不等式成立。 有時(shí)候，我們要證明的不等式無法直接運(yùn)用歸納法解決，這時(shí)，我們則考慮將不等式加強(qiáng)以便運(yùn)用歸納法。在做這一部分題時(shí)，應(yīng)從整除的基本含義入手，通過添項(xiàng)去項(xiàng)進(jìn)行“配湊”，使之能夠獲證。數(shù)學(xué)家華羅庚曾在其《數(shù)學(xué)歸納法》一書中指出；“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來．”不少與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，然后才能用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論。但由定義可知， 階行列式的展開式有！項(xiàng)，計(jì)算量很大，一般情況下不用此法。5運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤分析剛剛接觸數(shù)學(xué)歸納法時(shí)容易出現(xiàn)對步驟把握不清的現(xiàn)象，下面針對幾種常見錯(cuò)誤進(jìn)行分析。從上例可以看出，不去認(rèn)真地檢驗(yàn)這一步，或者根本沒有這一步，就可能陷入錯(cuò)誤的泥潭。所謂“起點(diǎn)的前移”是指對命題，若驗(yàn)證起點(diǎn)（如）比較困難或麻煩，而（如）有意義時(shí)，不妨將起點(diǎn)的驗(yàn)證移至；所謂“起點(diǎn)后挪”是指對命題，…，不能統(tǒng)一到“歸納”過程中去，這時(shí)可將起點(diǎn)后挪至，當(dāng)然，…，需要用完全歸納法予以一一驗(yàn)證。 試證：對一切自然數(shù)，都有。 試證：任意大于7的自然數(shù)均可表為若干個(gè)3與若干個(gè)5之和（若干個(gè)包括零個(gè)）。對上述兩個(gè)例題，如果硬性規(guī)定跨度為1，則作繭自縛，而通過加大跳躍跨度，則大大降低了歸納難度[6]。 設(shè)與是方程的兩個(gè)根，試證對任何自然數(shù)，都是整數(shù)，但不是5的倍數(shù)。對于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們也常采用數(shù)學(xué)歸納法來證明它們的正確性。所以，我要發(fā)自肺腑地感謝我的導(dǎo)師，感謝她這幾個(gè)月來的辛勤知道和陪伴！ 還有我敬愛的老師們，在我大學(xué)四年的學(xué)習(xí)生活中，你們的諄諄教誨時(shí)時(shí)刻刻激勵(lì)著我，我之所以能夠很好地學(xué)到科學(xué)文化知識，全得益于你們的樂于奉獻(xiàn)，所以在此，也要對你們說聲謝謝！再者，還有我親愛的同學(xué)們，我的生活因?yàn)橛心銈兊呐惆槎辉倏菰锓ξ?，你們給我?guī)砹颂嗝篮玫幕貞?，這些回憶值得我永遠(yuǎn)珍藏，所以也要謝謝你們！最后，我要感謝我的家人，有了你們的鼓勵(lì)和支持，我才能夠義無返顧的努力向前，我才能夠順利地完成學(xué)校，在此道一聲：謝謝你們！還要感謝在百忙之中抽出時(shí)間參加我們畢業(yè)論文答辯的老師，你們辛苦了！ 參考文獻(xiàn)[1][M].長沙：中南大學(xué)出版社，2002:179204.[2][M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1995:215223.[3]黃忠裕．中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法專題選講．成都：四川大學(xué)出版社．.[4], 2008(03),238239 .[5]張莉,(自然科學(xué)版),1999(02),102106.[6]：內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2008(10),1112.[7]蘇淳．漫話數(shù)學(xué)歸納法．合肥．中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社．2001:12127.