【正文】 。 [9]陳萍 ,李文等編 ． 概率與統(tǒng)計 [M]． 科學(xué)出 版社 ， 2022： 99115。 [7]劉次華 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]． 華中科技大學(xué)出版社 ,2022： 115125。 [5]盛驟等 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]． 高等教育出版社 ,2022： 109143。 [3]李少輔等 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 [M]． 河南大學(xué)出版社 ,1996： 8899。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 18 參考文獻 [1]沈恒范編著 ． 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程 [M]． 高等教育出版社 ,2022： 111115。 感謝 我的室友，同窗好友，整個畢業(yè)論文的寫作期間和我密切合作的同學(xué)，和曾經(jīng)在各個方面給予我?guī)椭幕锇閭?，友誼情深，勿需多言。 在我寫畢業(yè)論文的每個階段， 仝 老師傾注了大量的心血， 從選題到開題報告，從論文目錄到一遍遍地指出初稿中的具體問題， 仝 老師在百忙之中多 次審閱，對細節(jié)進行修改，并為本文的撰寫提供了許多中肯而且寶貴的意見，在此我表示衷心感謝 。 仝老師為人隨和，治學(xué)嚴謹細心，在閑聊中他 總是能像知心朋友一樣鼓勵你 。 感謝我的導(dǎo)師， 仝偉 老師 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 17 致 謝 大學(xué)四年，生活其實很簡單，只是一些讀書、寫字、考試和娛樂的周而復(fù)始 。另外還有什么樣的問題應(yīng)該用大數(shù)定律 解決呢？什么樣的問題應(yīng)該用 中心極限定理？什么樣的問題要綜合兩個定理 才能夠解決？本文都沒有得出明確的方法和分類 ,這些都是今后有待進一步深入研 究的問題 。 理論聯(lián)系實際 ,使畢業(yè)論文中所應(yīng)用的理論知識有了更可靠的依據(jù) 。 靈活使用這兩個概率公式會給我們的解題帶來很大方便 ,而 這 兩個概率 定理 的 應(yīng)用范圍十分廣泛 ,成為我們解決更復(fù) 雜問題的有效工具 。 本文詳細介紹了大數(shù)定律和中心極限定理 及其 在生活各方面的應(yīng)用 。 結(jié)束語 隨著社會的飛速發(fā)展 ,市場競爭日趨激烈 ,決策者必須綜合考察以往的信息及現(xiàn)狀從而作出綜合判斷 ,決策概率分析這門學(xué)科越來越顯示其重要性 。 但由于它的要求比較低 ,只要知道 X的期望和方差 ,因而在理論上有許多運用 。 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 從本例看出：用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于 ,而用中心極限 定理可得出要求的概率近似等于 。 3 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 大數(shù)定律和中心極限定理的比較應(yīng)用 例 11： 現(xiàn)有一大批種子 ,其中良種占 16 ,今在其中任選 6000粒 ,試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子良種所占的比例與 16 之差小于 1％的概率是多少？ 解 ： （ 1） 設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為 X ,則 )61,6000(~ BX 于是 100061 6000 ??? npEX 10006565616000)1( ??????? pnpDX 要估計的規(guī)律為 ? ?6010001001616000 ＜＜ ???????? ? XPXP, 相當于在切比雪夫不等式中取 60?? ,于是 ? ? 26016010001001616000 DXXPXP ?????????? ? ＜＜ 由題意得 76 36 00110 00651601 2 ???????? DX 即用切比雪夫不等式估計此概率不小于 。 下面我們用 1?? 來驗證隨機變量序列 ? ?nX 滿足李雅普諾 夫條件 ,因為 ?????? ?? ?? ni iini in ppXV arB 11 )1()( )( ???n )1()1()1()( 333 iiiiiiii pppppppXE ??????? , 于是 0)1(1)(1211133 ??????? ??????? niiiniiIn pppXEB （ n ??? ） , 即 ? ?nX 滿足李雅普諾夫條件 ,所以可以使用中心極限定理 。 于是 Xi相互獨立 ,且服從不同的二點分布： 1001)1( ipXP ii ???? , 1001)0( ipXP ii ???? , 99,2,1 ??i 。假如該學(xué)生回答各題目是相互獨立的 ,并且要正確回答 其中 60 個題目以上（包括 60 個）才算通過考試 。 李雅普諾夫中心極限定理及其在具體分布方面的應(yīng)用 設(shè) ? ?nX 為獨立隨即變量序列 ,若存在 0＞? ,滿足 0)(1l i m122 ????????ni IInn XEB?? ?, 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 則對任意的 x ,有 dtxXBPni iinn ?? ???? ??????? ?? x 2t12e21)(1l i m π? 其中 iiXE ??)( , 2)( ??IXD , 22221)( nin XDB ??? ????? ? 例 10：一份考卷由 99個題目組成 ,并按由易到難順序排列 。 由題意有 ? ? ?? NXP 由棣莫弗 拉普拉斯定理有 ? ? ?????? ??????????? ?????????????? ??????? 10)1()1()1( Npnp npNpnp npNpnp npXPNXP 查表得 )( ?? ,故 N 應(yīng)滿足條件 10 ??N 。 根據(jù)題意有 ))1((2)( 1 ???????? pp npXnP ni i ＜, 所以 ))1(( ??? pp n , 查正態(tài)分布表得 64 )1( ?? pp n , 從中解得 ： n? p(1p)2 =p(1p) 又因為 )1( ?? pp ,所以 ?n ,即至少調(diào)查 271個對象 。 則 iX 獨立同分布 ,且 P ( iX =1)=p ,P ( iX =0)= p?1 , ni ,2,1 ?? 又記 n 個被調(diào)查對象中 ,收看此電視節(jié)目的人數(shù)為 nY ,則有 ),(~1 pnbXY ni in ??? 。 現(xiàn)在要保證有 90％的把握 ,使得調(diào)查所得收視率 ?p 與真實收視率 p 之間的差異不大于 5％ 。 ③ 已知 ?,y ， 求 n 。 解 ： 記 n =200, nY 為 200臺機床中同時工作的機床數(shù) , 則 ： nY ～ b(200,), 42)(,140)( ?? nn YDYE 。 假定各機床工作是相互獨立的 ,工作時每臺機床要消耗電能 15kW。 解：記 n =100, nY 為 100個部件中正常工作的部件數(shù) ,則 nY ～ b(100,)； 90)( ?nYE ； 9)1()( ??? pnpYD n 所求概率為 )()3 (1)3 (1)85( ?????????????nYP ② 已知 ?,n ， 求 y 。一直真?zhèn)€系統(tǒng)中至少有 85個不見正常工作 ,系統(tǒng)工作才正常 。 例 6： 一復(fù)雜系統(tǒng)由 100個相互獨立工作的部件組成 ,每個不見正常工作的概率為 0。 以下我們就分這三類情況給出一些具體的例子。 (2) 若記 )(y??? ,則由棣莫弗 — 拉普拉斯極限定理給出的近似式 ?????? )()( yyYP n ， 可用來解決三類計算問題：（ 1）已知 yn, 求 ? ；（ 2）已知 ?,n 求 y 。 在給出棣莫弗 拉普拉斯定理應(yīng)用之前 ,先說明兩點： (1) 因為二項分布是離散分布 ,而正態(tài)分布是連續(xù)分布 ,所以用正態(tài)分布作為二項分布的近似計算中 ,作為修正可以提高精度 。 在之前概率論的學(xué)習中有“二項分布的泊松近似” ，兩者相比 ,一般在 p 較小的時候 ,用泊松分布近似較好 ,而在 5＞np 和 5)1( ＞pn ? 時 ,用正態(tài)分布近似較好 。 例 5：求極限 nnkkn ekn ???? ?0 !lim 商丘學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 解 引入隨機變量 )(:! nPeknX nkk ??（參數(shù)為 n 的泊松分布） , ?,2,1?k ,且 ? ?kX 相互獨立 ,由泊松分布的再生性知 , )(:1 nPXnk k??,所以 P｛ nXnk k ???1｝ = nnkkekn ???0 !,而 E（ ??nk kX1） =D｛ ??nk kX1｝ =n,P｛ ??nk kX1? n｝ =P｛nnnnnXnk k ?????1 ｝ 即 ： nnkkekn ???0 !=P｛nnXnk k???1 0? ｝ 令 n ?? ,由中心極限定理可知 ： nnkkn ekn ???? ?0 !lim=??nlimP｛nnXnk k???1 0? ｝ = )0(? =21 棣莫弗 拉普拉斯定理及其在實際生活方面的應(yīng)用 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理 ： 設(shè) 在獨立試驗序列中 ,事件 A在各次試驗中發(fā)生的概 率為