【正文】 稱 有 效無 偏74 ? ? ? ? 221 42 1 2 3D D X nn??? ? ? ? ?解：? ? ? ?1 0 0 nnnXnx xfx???????? ???由 其它? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?2 222 21nnnD E X E Xn?? ??????于是? ? ? ? ? ?221 2 2 1 3 2DD n nn??? ? ? ?? ? ? ??因為 比 更有效? ?? ?1220 2nn nn x nE X d x n? ???? ? ???? ?22nn???? ?? ?11 2 ( )128 ~ 0 , , , ,1? ?2 , 7? ? 2nnX U X X XnXXnn????????? ?????例 ： 設 總 體 是 取 自 的 樣 本 ， 已 知 的兩 個 無 偏 估 計 為 見 例 ，判 別 與 哪 個 有 效 時 ？75 相合性 ? ?? ?1,0 , 0 nnnnnl i m PXXn???????????? ? ??? ? ? ??? ???定 義 ： 設 為 參 數(shù) 的 估 計 量 ， 若 對 于 任 意 ， 當 時 ， 依 概 率 收 斂 于 ， 即 有 ： 成 立 ， 則 稱 為 相 合 估 計 量 或的 一 致 估 計 量76 1112 2 2219 ( ) ( 2 ) , , , ( 1 ) ( )12 , 2 , .. ., , 2 , .. .,13 ( ) , ( )kknnll i liniiX k E X k X X XX E XA X l k l knB X X S D XnS??????????? ? ?? ? ???例 ： 設 總 體 的 階 矩 存 在 是 取 自 的 樣 本 ， 證 明 ： 是 的 相 合 估 計 ；（ ） 是 的 相 合 估 計 ；（ ） 是 的 相 合 估 計 ；(4) 是 的 相 合 估 計 。 無偏性的統(tǒng)計意義是指在大量重復試驗下，由 所作的估計值的平均恰是 ，從而無偏性保證了 沒有系統(tǒng)誤差。72 糾偏方法 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1?, , , 01 ?17,?,?nnnnE a b a b abanX X XnXX? ? ?????????? ? ? ? ????如果 其中 是常數(shù)，且則 是 的無偏估計。 12, , , nX X X X證：因 與 同分布，故有：X ?故 是 的 無 偏 估 計 .? ?11 niiE X E Xn???? ?????2211 ()1 niiS X Xn ???? ?? ?2211 ()1 niiE S E X Xn ???????????? ? 2211 ()1 n iiE X n Xn ?????? ? ? ???? ???? ?2 2 21 1 nn ? ? ?? ? ??22S ?故 是 的 無 偏 估 計 .? ?11 niiEXn?? ? 1 nn ??? ? ?? ? 211 ()1 niiE X Xn ???????? ? ? ?????? ???? ? ? ?11 1 nii D X n D Xn ???????? ???71 ? ?? ?7 5 2 L nXX????例 ： 檢 驗 例 的 矩 估 計 量 與 最 大 似 然 估 計 量 的 無 偏 性 。 2 估計量的評選標準 從表 1看到，對總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？ 通常用三條標準檢驗： 無偏性 ， 有效性 ， 相合性 無偏性 ? ? ? ?? ?? ?,?,nEliEmE?????? ? ???????若 那 么 稱 為 估 計 量 的若 則 稱 是 的 漸 近偏 差無 偏 估 計 量? ? ? ?12? , , , ? ,?nXX EX ??? ? ???? ?定 義 ： 若 參 數(shù) 的 估 計 量 滿 足則 稱 是 的 一 個 無 偏 估 計 量 。0 xX f x ??? ? ???????解 ： 的 概 率 密 度 為 ：其 它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???參 數(shù) 的 似 然 函 數(shù) 為 ：其 它? :L?從 義 發(fā)以 下 定 出 求? ? ? ?120 , , , ,in nx x m a x x x x??? ? ?因為 故 的取值范圍最小為? ? ? ?1 nnL x L? ? ? ????又 對 的 是 減 函 數(shù) ， 越 小 ， 越 大 ，? ? 0 1 2E X x d x X? ??? ? ??由? ? 1 矩 估 計? ? ? ?1? ,LnnX m a x X X?? ??所 以 的 最 大 似 然 估 計 量 為? 2 X???67 , 0 ,2 X ?? ? ???? ?????1 2 3例 6 ： 設 總 體 的 概 率 分 布 率 為 ： 其 中 未 知2 1 3現(xiàn) 得 到 樣 本 觀 測 值 2 ， 3 ， 2 ， 1 ， 3 ， 求 的 矩 估 計 與 最 大 似 然 估 計 。? ?12, , , ,inx x m i n x x x????故 的取值范圍最大不超過? ?111 , 1 , 2 , ..., .nii xin e x i n?? ?? ????? ? ?? ?? ?? ?12 11 0niid l n L n XXd??? ? ?? ? ? ? ??令? ? ? ?121 , , , ,nX m in X X X?? ??故? ?1? XX?? ? ?? ? ? ?11 ?n iilnL nln X? ? ???? ? ? ??又66 ? ?15 0 , 0 , , nXXX????例 ： 設 總 體 服 從 上 的 均 勻 分 布 ， 未 知 ， 由 樣 本 求 出 的 最 大 似 然 估 計 和 矩 估 計 。 221? niinln X???????????的 最 大 似 然 估 計 量 為 ：? ? ? ?211111,nniinniiiiL f xxx???????????????? ???????然解 似 函 數(shù)：? ? ? ?11 l n2 n iinlnL ln x? ? ??? ? ? ?? ?111 l n 0 22niid l n L n xd??? ? ?? ? ? ??令1lnn iin x? ??? ?即 ： ? ?1 0 1 0 Xxxfx?? ?? ???? ???即 ， 總 體 的 密 度 為 ：其 他64 ? ?? ?? ?11 4, 0 0 , , , , , xnexX f xX X X????? ? ????????? ????例 ： 設 總 體 的 概 率 密 度 為 ：其 它其 中 是 未 知 常 量 為 的 樣 本 ，求 的 矩 估 計 與 最 大 似 然 估 計 。62 ? ?12 1 . , , , k? ? ? ????? ?未 知 參 數(shù) 可 能 不 是 一 個 ， 一 般 設 為說 明 ；? ? ? ?? ?? ?2.?0 , 1 , 2 , . . . , . 1 , 2 , . . . , .iiL ln Lln Lln Li k i k???????? ? ??在 求 的 最 大 值 時 ， 通 常 轉 換 為 求 ： 的 最 大 值 ，稱 為 對 數(shù) 似 然 函 數(shù) .利 用 解 得 ，? ? ? ?3. iiL ???若 關 于 某 個 是 單 調 增 減 函 數(shù) ，此 時 的 最 大 似 然 估 計 在 其 邊 界 取 得 ；? ? ? ?? ?4. gg? ? ? ?若 是 的 最 大 似 然 估 計 ， 則 的 最 大 似 然 估 計 為 。 ) .nnnn n n iiX x X xL P X x X x p x p x p x? ? ? ????? ? ? ? ? ?則 事 件 發(fā) 生 的 概 率 為1?( ( , , ) ) m a x ( ) .nL x x L??? ???最 大 似 然 原 理 ：似 然函 數(shù)11? ,? ,nnxxXX????稱 （ ） 為 的 ，相 應 統(tǒng) 計 量 （ ） 為 最最 大 似 然 估大 似 然計的值估 計 量 。 ) . . . ( 。 )X p x ? ? ???一 般 地 ， 設 離 散 型 總 體 ， ， 未 知 。如果用放回抽樣方法從罐中取 5個球，觀察結果為：黑、白、黑、黑、黑，估計取到黑球的概率 p. 31,. 44pp ?解 ： 設 抽 到 黑 球 的 概 率 為 則 本 例 中 ， 或? ? ? ?3311 .4 4 4 1 0 2 4p ?? 4當 時 ， 出 現(xiàn) 本 次 觀 察 結 果 的 概 率 為? ? ? ?3 3 8 11 .4 4 4 1 0 2 4p 4當 時 ， 出 現(xiàn) 本 次 觀 察 結 果 的 概 率 為3 81 3 31 ? .1024 1024 4 4 4p p p? ? ?由 于 ， 因 此 認 為 比 更 有 可 能 ， 于 是 取 為 更 合 理? ?二 最 大 似 然 估 計 法 ：61 ? ?,X f x ? ? ???若 總 體 為 連 續(xù) 型 的 ， 其 概 率 密 度 為 ， ， 為 未 知 參 數(shù) 。 112122?1? () niiXXAA Xn?????? ??????????? ?? ?2令解 ： 先 求 總 體 矩 ：? ? ? ?2 2 2 212 , ( )E X D X E X? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2121111 , nniiiiA X X A Xnn??? ? ???再求樣本矩：221 2 1,? ? ? ? ?? ? ?解 得 ：59 ? ?? ?1122 0 1 0 0 , ,nXxxfxX X X X??????????????例 ：設總體 的密度為：為未知參數(shù)，其他， 為取自 的樣本，求 的矩估計。的 估 計 量 點 估 計 有 兩 種 方 法 ： 矩 估 計 法 和 最 大 似 然 估 計 法57 ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?1 2 1 21 2 1 21。點參 估數(shù) 估 計 法計 的 兩 種 和 區(qū)方 法 ： 間 估 計 法56 167。 , 2,xXXf x e x??????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?參 數(shù) 估 計 是 統(tǒng) 計 推 斷 的 基 本 問 題 之 一 ， 實 際 工 作 中 碰 到 的 總 體它 的 分 布 類 型 往 往 是 知 道 的 ， 只 是 不 知 道 其 中 的 某 些 參 數(shù) ，例 如 ： 產(chǎn) 品 的 質 量 指 標 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 其 概 率 密 度 為 ：但 參 數(shù) 的 值 未 知 ， 要 求 估 計 ， 有 時 還 希 望 以 一 定 的 可 靠 性 來