【正文】 1 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 2 167。 1 大數(shù)定律 11, , ,.ninnX X EXXXYn??????： 設(shè) 是 一 列 隨 機(jī) 變 量 ， 一 定 的則 在隨 機(jī) 變 量 序 列 收條 件 下斂 到內(nèi) 容2 nY ?問 ： （ 1 ） 一 定 的 條 件 是 什 么 ？ （ ） 隨 機(jī) 變 量 序 列 收 斂 到題的 定 義 ？3 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 3 , , , ,0 , 0 ,nnnY Y Y al i m P Y aYaPYan??? ? ?? ? ? ? ????。定 義 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 若 存 在 某 常 數(shù) ， 使 得 均 有 ： 則 稱 隨 機(jī) 變 量 序 列 依 概 率 收 斂 于 常 數(shù) ， 記 為 ：a ??aa ??4 性質(zhì)： ,ppnnX a Y b g??? ??? 在 (a,b) 連 續(xù) ， 則( , ( , )pnng X Y g a b???）5 1( 0 , ) , pnnX N Xn ???例 ： 則0.: 0 ,? ?證 明 對 任 意( | 0 | )nPX ?? ? ? ( ) ( )nnP X P X??? ? ? ?001 ( ) ( )1 / 1 /nn????? ? ?? ? ? 2 [1 ( ) ]n????0.?6 1 , , 0 ,1,nnnnX X XD X Xn??例 ： 設(shè) 是 隨 機(jī) 變 量 序 列 ,E???22::1( | 0 | ) 0 .nnDXPXn???? ? ? ? ?證 明 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式7 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?222225 . 1 ,0, 1X E X D XP X E XP X E X???????????? ? ? ?? ? ? ?定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 具 有 數(shù) 學(xué) 期 望 方 差 則 對 于 任 意 都 有 ：定 理 的 為 ：等 價(jià) 形 式? ? ? ? ,X X f x證 明 ： 僅 就 為 連 續(xù) 型 時(shí) 證 之 設(shè) 的 概 率 密 度 為? ? ? ?xP X f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DX ?????()fx??? ????8 2,( | | 3 )X D XPX??????? ? ?例 ： 設(shè) E 則 2281.( 3 ) 9????2 8( , ) ( | | 3 ) 0 . 9 9 7 4 .9X N P X? ? ? ?? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ，9 例 1：在 n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件 A出現(xiàn)的 概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁?,(1)若 n=7500,估計(jì) A出 現(xiàn)的頻率在 ；（ 2）估計(jì) n, 使 A出現(xiàn)的頻率在 。 nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0 . 7 5bn?則 X, ? ? ? ?0 . 7 5 , 0 . 1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?1875( 2 )1 0 .9 0n?? 1 8 7 5 0n??? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?? ? 20 . 1 8 7 5 1 8 7 5110 . 0 1nnn? ? ? ?? ? 1875( 1 ) 7 5 0 0 , 0 . 7 4 0 . 7 6 1 0 . 7 57500XnP n? ? ? ? ? ?10 ? ?12215. 2, , , ,1 .nnPkkX X XXn????????定 理 契 比 雪 夫 定 理 的 特 殊 情 形 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 相 互 獨(dú) 立 ， 且 具 有 相 同 的數(shù) 學(xué) 期 望 和 相 同 的 方 差 ，則? ?111 ,nnkkE Y E X nnn ?????? ? ? ??????證 明 ： 由 于? ?11 nnkkD Y D Xn???? ????? ? ?2 11 n kkDXn?? ? 2221 n nn ??? ? ?2211 1n kknPXn??????? ? ? ? ??????由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ：11 1n kn klim P Xn ???? ???? ? ? ??????11 ? ?? ?12115 .3, , , ,101l im l im 1 .nnnkknnknnkX X Xn Y XnP Y P Xn??? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????定 理 辛 欽 定 理 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 相 互 獨(dú) 立 ， 服 從 同 一 分 布 ，且 存 在 數(shù) 學(xué) 期 望 ， 作 前 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則 ， 有 ： 契比雪夫大數(shù)定律表明，當(dāng) n很大時(shí)， 的算術(shù)平均 接近于數(shù)學(xué)期望 。這種接近是在 概率意義下的接近。 11 n kkXn?? ?12, , , ,nX X X此外，定理中要求隨機(jī)變量的方差存在，但當(dāng)隨 機(jī)變量服從相同分布時(shí)，就不需要這一要求。 12 例 2： 1121 1 1, , , , ~ ( 1 , 1 ) .1 1 11 2 3nn n nk k kk k kX X X UX X Xn n n? ? ??? ? ?設(shè) 隨 機(jī) 變 量 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 則（ ） ， （ ） ， （ ） 分 別 依 概 率 收 斂 嗎 ？如 果 依 概 率 收 斂 ， 分 別 收 斂 于 什 么 ？11112 2 221 1 1, , , , ( ), , , , ( ), , , , ( )1 1 1nnnn n nkkkk k kX X E XX X E XX X E XXXXn n n? ? ?? ? ?解 ： 由 辛 欽 大 數(shù) 定 律 ， 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 存 在 ,相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 存 在 ,相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 存 在 ,故 ， ， ， 均 依 概 率 收 斂 。1( ) 0 ,EX ?因 為 ，11 nkkXn????? P故 ， 0 ，11 1( ) ,E X x d x????11同 理 ，221221 1( ) ,E X x d x????112311 nkkXn?? ???? P 1 ，2211 nkkXn?? ???? P 1 。313 例： 1112, , , , ~ ( 0 , 1 ) ,nn nX X X UX X X設(shè) 隨 機(jī) 變 量 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 則依 概 率 收 斂 嗎 ？ 如 果 依 概 率 收 斂 ， 收 斂 于 什 么 ？1111101, l n ( l n l n ) .l n , , l n , ,( l n ) l n 1 , 1.nn n n n nnpnX X Y X XnXXE X x dx Z? ? ? ? ?? ? ? ??? ??解 ： 令 Y 則 Z 由 辛 欽 大 數(shù) 定 律 ， 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ，所 以1 .nZ pnY e e ?? ???所 以14 大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì)，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法，參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。 ? ?5 .4 , 0 , 1AAnA p n nnA li m P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定 理 貝 努 里 大 數(shù) 定 理 設(shè) 事 件 在 每 次 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 概 率 為 ， 記 為 次 獨(dú) 立 重 復(fù) 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) 則 有 ：? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：15 167。 2 中心極限定理 背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每 個(gè)個(gè)別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往 往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極 限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù) 學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的 時(shí)期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。 16 ? ?5 . 5 定 理 獨(dú) 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理21( , )n iiX N n n????（ 近 似 ） ～ 11 niiXXn ?? ?思 考 題 ：的 近 似分 布 是 什 么 ？2( , )Nn??答 案 ：? ? ? ?122, , , , , 1 , 2 , nniiXXE X D X i??? ? ?設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ，則 當(dāng) 足 夠 大 時(shí)1( ) ( ) ( ) .n iib n a nP a X bnn???????? ? ? ? ? ??從 而 ，17 ? ?5 . 6 定 理 德 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理2215 .4 ,( 1 ) 2tbAn an n pli m P a b e d tn p p ??? ? ??? ?? ? ?????? ?由 定 理1 0 iiAXiA?? ??第 次 試 驗(yàn) 時(shí) 發(fā) 生證 明 ： 令第 次 試 驗(yàn) 時(shí) 未 發(fā) 生? ? ? ?220 1 ,1, l im ,( 1 ) 2AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d tn p p ??? ? ?? ? ??? ?? ? ?????? ?設(shè) 為 重 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) ，則 對 任 何 區(qū) 間 (] ， 有 ：12, , , , ~ ( 1 , ) .niX X X X b p則 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ,12 ,Ann X X X? ? ? ?由 于( ) ~ ( , ( 1 ) ) .An N np np p?即 : 近 似? ?()(1 )()(1 )AP a n bb npnp pa npnp p??????????18 例 3：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時(shí)的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨(dú)立的 ,求這 16只元件的壽命的總和大于 1920小