【正文】 ???????????的 最 大 似 然 估 計 量 為 ：? ? ? ?211111,nniinniiiiL f xxx???????????????? ???????然解 似 函 數(shù)：? ? ? ?11 l n2 n iinlnL ln x? ? ??? ? ? ?? ?111 l n 0 22niid l n L n xd??? ? ?? ? ? ??令1lnn iin x? ??? ?即 ： ? ?1 0 1 0 Xxxfx?? ?? ???? ???即 ， 總 體 的 密 度 為 ：其 他64 ? ?? ?? ?11 4, 0 0 , , , , , xnexX f xX X X????? ? ????????? ????例 ： 設 總 體 的 概 率 密 度 為 ：其 它其 中 是 未 知 常 量 為 的 樣 本 ，求 的 矩 估 計 與 最 大 似 然 估 計 。 ? ? 1 解 ： 矩 估 計? ? ? ?E X xf x d x????? ?? ?? ? 21 1()niiE X XD X X Xn?? ??? ???? ?令? ? 2()D X E X ??? ? ?21211? () 1? ()niiniiXXnX X Xn?????????? ??? ? ?????????? ?1 xx e d x??? ??? ??? ?? ?2 1() xx e d x??? ?? ??? ??? ? ??2201()tx tt e d t? ?????? ?? ?? ? ??65 ? ?2 最 大 似 然 估 計? ? ? ?11, in xiLe ???? ? ???? ??此 處 不 能 通 過 求 偏 導 數(shù) 獲 得 的 最 大 似 然 估 計 量 ，? ? 111,nii nxnL e L???? ? ? ?? ??? ??另一方面， 是 的增函數(shù)， 取到最大值時， 達到最大。? ?12, , , ,inx x m i n x x x????故 的取值范圍最大不超過? ?111 , 1 , 2 , ..., .nii xin e x i n?? ?? ????? ? ?? ?? ?? ?12 11 0niid l n L n XXd??? ? ?? ? ? ? ??令? ? ? ?121 , , , ,nX m in X X X?? ??故? ?1? XX?? ? ?? ? ? ?11 ?n iilnL nln X? ? ???? ? ? ??又66 ? ?15 0 , 0 , , nXXX????例 ： 設 總 體 服 從 上 的 均 勻 分 布 ， 未 知 ， 由 樣 本 求 出 的 最 大 似 然 估 計 和 矩 估 計 。 ? ? 2 最 大 似 然 估 計 ? ?1 0。0 xX f x ??? ? ???????解 ： 的 概 率 密 度 為 ：其 它? ? 121 0 , , ,0 nn x x xL ????? ???? ???參 數(shù) 的 似 然 函 數(shù) 為 ：其 它? :L?從 義 發(fā)以 下 定 出 求? ? ? ?120 , , , ,in nx x m a x x x x??? ? ?因為 故 的取值范圍最小為? ? ? ?1 nnL x L? ? ? ????又 對 的 是 減 函 數(shù) ， 越 小 ， 越 大 ，? ? 0 1 2E X x d x X? ??? ? ??由? ? 1 矩 估 計? ? ? ?1? ,LnnX m a x X X?? ??所 以 的 最 大 似 然 估 計 量 為? 2 X???67 , 0 ,2 X ?? ? ???? ?????1 2 3例 6 ： 設 總 體 的 概 率 分 布 率 為 ： 其 中 未 知2 1 3現(xiàn) 得 到 樣 本 觀 測 值 2 ， 3 ， 2 ， 1 ， 3 ， 求 的 矩 估 計 與 最 大 似 然 估 計 。 ? ? 1 解 ： 矩 估 計? ? kkE X x p? ?()E X X?令3 5 2???2 2 3 ( 1 3 2 )? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ???? ? 2 最 大 似 然 估 計( ) ( 2 ) ( 1 3 2 ) ( 2 ) ( 1 3 2 )L ? ? ? ? ? ?? ? ?32116 (2 3 )????l n ( ) l n 1 6 3 l n 2 l n ( 2 3 )L ? ? ?? ? ? ? ?l n ( ) 3 6 023dLd?? ? ?? ? ?? ? ???68 表 1 例 2，例 4，例 5中兩種估計方法所得結(jié)果 例 題 矩估計量 最大似然估計量 例 2 例 4 例 5 21211? ()1? ()niiniiXXnX X Xn??????? ? ???? 2X? ? ? ?? nX??? ?? ?11??XXX?????221?L niinlnX??????????? ?2? 1 XX? ? ?69 167。 2 估計量的評選標準 從表 1看到，對總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？ 通常用三條標準檢驗： 無偏性 ， 有效性 ， 相合性 無偏性 ? ? ? ?? ?? ?,?,nEliEmE?????? ? ???????若 那 么 稱 為 估 計 量 的若 則 稱 是 的 漸 近偏 差無 偏 估 計 量? ? ? ?12? , , , ? ,?nXX EX ??? ? ???? ?定 義 ： 若 參 數(shù) 的 估 計 量 滿 足則 稱 是 的 一 個 無 偏 估 計 量 。70 ? ? ? ? 2226,XE X D XXS??????例 ： 設 總 體 的 一 階 和 二 階 矩 存 在 ， 分 布 是 任 意 的 ，記證 明 ： 樣 本 均 值 和 樣 本 方 差 分 別 是 和 的 無 偏 估 計 。 12, , , nX X X X證：因 與 同分布，故有：X ?故 是 的 無 偏 估 計 .? ?11 niiE X E Xn???? ?????2211 ()1 niiS X Xn ???? ?? ?2211 ()1 niiE S E X Xn ???????????? ? 2211 ()1 n iiE X n Xn ?????? ? ? ???? ???? ?2 2 21 1 nn ? ? ?? ? ??22S ?故 是 的 無 偏 估 計 .? ?11 niiEXn?? ? 1 nn ??? ? ?? ? 211 ()1 niiE X Xn ???????? ? ? ?????? ???? ? ? ?11 1 nii D X n D Xn ???????? ???71 ? ?? ?7 5 2 L nXX????例 ： 檢 驗 例 的 矩 估 計 量 與 最 大 似 然 估 計 量 的 無 偏 性 。 ? ? ? ?0, , ,( 1) 2X U E X ????解 ：? ? ? ?? 2E E X??? 22E X E X?? ??? 2 X???因 此 是 的 無 偏 估 計? ? ? ??2 L nnXX? ?為 考 察 的( 無) 偏 性 ， 先 求 的 分 布 ，5由第三章第 節(jié)知：? ? ? ? ? ? ,nnXF x F x? ????? ? ? ?1 0 0 nnnXnx xfx ???????????于是 其它10nnx nx dx????? ?? ? ? ?? ??L nE E X? ?因此有： 1nn ?????? ??L nX? ?所 以 是 有 偏 的 。72 糾偏方法 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1?, , , 01 ?17,?,?nnnnE a b a b abanX X XnXX? ? ?????????? ? ? ? ????如果 其中 是常數(shù)，且則 是 的無偏估計。在例 中，取 則 是 的無偏估計 無偏性是對估計量的一個最常見的重要要求，是“好”估計的標準之一。 無偏性的統(tǒng)計意義是指在大量重復試驗下，由 所作的估計值的平均恰是 ，從而無偏性保證了 沒有系統(tǒng)誤差。73 有效性 ? ? ? ?121212? ?,? ?? ?DD? ? ????????????定 義 ： 設 是 的 兩 個 估 計 ， 如 果 對 一 切 成 立 ， 且 不 等 號 至 少 對 某 一 成 立 ， 則 比 。稱 有 效無 偏74 ? ? ? ? 221 42 1 2 3D D X nn??? ? ? ? ?解：? ? ? ?1 0 0 nnnXnx xfx???????? ???由 其它? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?2 222 21nnnD E X E Xn?? ??????于是? ? ? ? ? ?221 2 2 1 3 2DD n nn??? ? ? ?? ? ? ??因為 比 更有效? ?? ?1220 2nn nn x nE X d x n? ???? ? ???? ?22nn???? ?? ?11 2 ( )128 ~ 0 , , , ,1? ?2 , 7? ? 2nnX U X X XnXXnn????????? ?????例 ： 設 總 體 是 取 自 的 樣 本 ， 已 知 的兩 個 無 偏 估 計 為 見 例 ，判 別 與 哪 個 有 效 時 ？75 相合性 ? ?? ?1,0 , 0 nnnnnl i m PXXn???????????? ? ??? ? ? ??? ???定 義 ： 設 為 參 數(shù) 的 估 計 量 ， 若 對 于 任 意 ， 當 時 ， 依 概 率 收 斂 于 ， 即 有 ： 成 立 ， 則 稱 為 相 合 估 計 量 或的 一 致 估 計 量76 1112 2 2219 ( ) ( 2 ) , , , ( 1 ) ( )12 , 2 , .. ., , 2 , .. .,13 ( ) , ( )kknnll i liniiX k E X k X X XX E XA X l k l knB X X S D XnS??????????? ? ?? ? ???例 ： 設 總 體 的 階 矩 存 在 是 取 自 的 樣 本 ， 證 明 ： 是 的 相 合 估 計 ；（ ） 是 的 相 合 估 計 ；（ ） 是 的 相 合 估 計 ；(4) 是 的 相 合 估 計 。11 ( ) , 1 , 2 , . . . , .( 1 ) 2nlliliX E X l kn ?????證 明