中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc-資料下載頁
2025-07-17 15:27本頁面
【正文】 0與7200之間的概率為P。因為題中燈和燈之間是獨立的，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項分布的，所以我們可用二項分布的方法將P的具體值求出來，但是根據(jù)第四部分的分析，我們可知算一個就很困難，那么如果要算3999個這樣的值是不是顯得不太實際呢？仔細觀察這題的問題，不難發(fā)現(xiàn)，最后所求的區(qū)間是關(guān)于隨機變量X的數(shù)學期望EX對稱的區(qū)間，而且是要估計最后的結(jié)果，因此我們可以用切比雪夫不等式來估計。我們都知道，切比雪夫有著一個重要的不等式，即，所以有著下面的解法一：：解法一：因為，所以,因此，根據(jù)切比雪夫不等式，有因此由切比雪夫不等式估計出的最后結(jié)果為，區(qū)間長度較短，結(jié)果較好。切比雪夫不等式估計出來的結(jié)果是比較好，但是這還只是估計出結(jié)果屬于的區(qū)間，到底結(jié)果是多少還是不知道。要想知道具體結(jié)果是什么，還是用中心極限定理來研究比較簡單。根據(jù)棣莫弗拉普拉斯中心極限定理的積分極限定理，我們可知例題的條件符合它，為此我們有如下的解法：解法二：因為，所以根據(jù)積分極限定理有，=,據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)表，有，所以從這一題中，我們可明顯地看出切比雪夫不等式和中心極限定理在處理二項分布中的近似計算問題時都有著極其強大的功能。但是相比于切比雪夫不等式，我們也可明顯地看出中心極限定理的精確與方便。例8. 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占，今在其中任選6000粒，試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中良種所占的比例與之差小于1%的概率是多少？[6]分析：我們不妨先設(shè)6000粒種子中良種的個數(shù)為隨機變量X，這些種子中良種所占的比例與之差小于1%的概率為P。因為題中良種之間是獨立的，而且是良種的概率都一樣為。所以我們可知，X服從于二項分布，即有。解：設(shè)選出的種子中的良種粒數(shù)為X，則，于是，要估計的概率為(1) 用切比雪夫不等式估計此概率：=。(2) 由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，對于二項分布，可用正態(tài)分布來近似，于是所求概率為。從上例看出：，從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的，中心極限定理的近似結(jié)果更為精確。，，問至少要進行多少次試驗?[6]分析：我們不妨先設(shè)n重伯努利試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)為隨機變量X。因為題中事件A每次的出現(xiàn)是獨立的。所以我們可知，X服從于二項分布，即有。解：設(shè)X表示n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則。于是：，相應(yīng)的頻率為,問題是要求出適當?shù)膎,使得(1) 用切比雪夫不等式估計最少的試驗次數(shù)：解不等式，得即用切比雪夫不等式來估計最少的試驗次數(shù)為5250次，才能滿足要求。（2）用棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理估計，對于二項分布可用正態(tài)分布來近似，于是，解不等式查表得，解得。即用中心極限定理來估計最少的試驗次數(shù)為1424次。比較兩種方法得出得不同結(jié)果，可以看到用切比雪夫不等式估計得結(jié)果，要多做3826次試驗，這將要做很多得無用功。從上述三例可看出，在做某些估計的時候，雖然用切比雪夫不等式也是可以適當?shù)毓烙嫞怯弥行臉O限定理來估計時，得到的結(jié)果往往更加的精確，更加地值得人們的信任。小結(jié)：通過本文介紹的中心極限定理在現(xiàn)實生活中的各方面都有著很好的運用。因此，靈活地掌握林德貝格一勒維中心極限定理、棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理等中心極限定理，并利用它們來解決現(xiàn)實生活中的應(yīng)用問題是很有必要的。16參考文獻[1]杜偉娟,于文娟．中心極限定理及其初步應(yīng)用[J] .[2]茆詩松，程依明，濮曉龍．概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M] 北京：．[3]孫蓓．中心極限定理及其在若干實際問題中的應(yīng)用[D] 河南：.[4] 孔祥鳳. 中心極限定理在管理中的應(yīng)用[J] .[5]張琳．中心極限定理的優(yōu)勢[J] 山東：.[6] 李生彪．中心極限定理在實際中的應(yīng)用[J] 甘肅：.
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