數學與應用數學-中心極限定理探討及應用(已修改)
2025-06-01 01:43 本頁面
【正文】 08級數學與應用數學專業(yè)畢業(yè)論文目 錄摘 要 I1 緒論 11．1課題的研究意義 11．2國內外研究現狀 11．3研究目標 22 關于獨立分布的中心極限定理的探討 32．1中心極限定理的提法 32．2獨立同分布情形的兩個定理． 32．2．1 林德伯格勒維中心極限定理 42．2．2隸莫弗——拉普拉斯定理 52．3獨立不同分布情形下的中心極限定理 62．3．1林德貝格中心極限定理 62．3．2李雅普諾夫中心極限定理 112．4本章小結 123 中心極限定理在商業(yè)管理中的應用 133．1 水房擁擠問題 133．2設座問題 153．3盈利問題 163．4抽樣檢驗問題 173．5供應問題 18結 語 19參考文獻 20附錄 22中心極限定理探討及應用摘 要：本文從隨機變量序列的各種收斂與它們間的關系談起，通過對概率論的經典定理—中心極限定理在獨立同分布和不同分布兩種情況下的結論作了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機現象最根本的性質—平均結果的穩(wěn)定性．經過對中心極限定理的討論，給出了獨立隨機變量之和的分布可以用正態(tài)分布來表示的理論依據．同樣中心極限定理的內容也從獨立同分布與獨立不同分布兩個角度來進行討論。最后給出了一些中心極限定理在數理統(tǒng)計、管理決策、近似計算、以及保險業(yè)等方面的應用，來進一步地闡明了中心極限定理在各分支學科中的重要作用和應用價值．關鍵詞：弱收斂。獨立隨機變量。特征函數。中心極限定理．第 I 頁08級數學與應用數學專業(yè)畢業(yè)論文1 緒論1．1課題的研究意義概率統(tǒng)計學是一門研究隨機現象統(tǒng)計規(guī)律性[1]的數學學科，它的應用十分廣泛，涉及自然科學、社會經濟學科、工程技術及軍事科學、農醫(yī)學科、企業(yè)管理部門等．而大數定律和中心極限定理是概率論中最重要的內容之一，甚至可以說概率論的真正歷史開始于極限定理的研究，在這以前概率論還僅局限于古典概率的直接計算，而且主要是賭博中的概率計算[2]．極限定理最早的成果有:伯努利大數定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，這些定理開辟了概率論中的重要研究方向—大數定律、中心極限定理及以正態(tài)分布和泊松分布為代表的無窮可分分布的研究．概率論中討論隨機變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理是概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實際應用背景．在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的．中心極限定理就是從數學上證明了這一現象．最早的中心極限定理是討論n重伯努利試驗中，某事件A出現的次數漸近于正態(tài)分布的問題 ．1716年前后，棣莫佛對n重伯努利試驗中每次試驗事件A出現的概率為1/2的情況進行了討論，隨后，拉普拉斯和李亞普諾夫等進行了推廣和改進．自萊維在19191925年系統(tǒng)地建立了特征函數理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產生了普遍極限定理和局部極限定理等．無論是在概率論的發(fā)展史上還是在現代概率論中，極限定理的研究都占特別重要的地位，也是數理統(tǒng)計學的基石之一，其理論成果也比較完美．長期以來，對于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展．同時新的極限理論問題也在實際中不斷產生．這樣中心極限定理在概率論中占有重要的地位，同時極限定理的研究引起了現代概律論的發(fā)展，并且在統(tǒng)計分析和近似計算等方面具有一定的應用，所以中心極限定理的研究具有一定的理論和實際意義．1．2國內外研究現狀 中心極限定理作為概率論的重要內容，其理論成果相對比較完善．這方面的文章較多，它們的結果也比較完美．但是他們注重于研究單一的方向，而幾個定律之間的關系和應用方面的較少．出于這種現狀本文通過對獨立條件下的中心極限定理做系統(tǒng)的分析，主要研究和討論幾個中心極限定理之間的關系以及中心極限定理所揭示的理論意義和他們的應用．同時對文中出現的定理和結論做系統(tǒng)的分析和證明，所以對教學和科研方面具有一定的參考價值．1．3研究目標 通過對獨立隨機序列的中心極限定理做系統(tǒng)的分析，闡明中心極限定理它們之間的關系以及舉例說明中心極限定理在實際問題中的應用為教學和科研供參考． 2 關于獨立分布的中心極限定理的探討凡是在一定條件下斷定隨機變量之和的極限分布是正態(tài)分布的定理，在概率論中統(tǒng)稱中心極限定理．具體一點說，中心極限定理回答的是(獨立或弱相依)隨機變量之和的極限分布在什么條件下是正態(tài)的．中心極限定理是揭示產生正態(tài)分布的源泉，是應用正態(tài)分布來解決各種實際問題的理論基礎．2．1中心極限定理的提法直觀上，如果一隨機變量決定于大量(乃至無窮多個)隨機．因素的總合，其中每個隨機因素的單獨作用微不足道，而且各因素的作用相對均勻，那么它就服從(或近似地服從)正態(tài)分布，下面我們將按嚴格的數學形式來表述這一直觀．在許多情形下，一隨機變量可以表示為或近似地表示為大量獨立隨機變量之和， (a)這里，每個直觀上表示一種隨機因素的效應，假如式(a
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