概率論-第四章大數(shù)定律與中心極限定理(已修改)
2025-08-16 16:59 本頁(yè)面
【正文】 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 1頁(yè) 167。 特征函數(shù) 167。 大數(shù)定律 167。 隨機(jī)變量序列的兩種收斂性 167。 中心極限定理 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 2頁(yè) 167。 特征函數(shù) 特征函數(shù)是處理概率論問(wèn)題的有力工具， 其作用在于： ? 可將卷積運(yùn)算化成乘法運(yùn)算； ? 可將求各階矩的積分運(yùn)算化成微分運(yùn)算； ? 可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般的函數(shù)極限問(wèn)題； ? ……… . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 3頁(yè) 特征函數(shù)的定義 定義 設(shè) X 是一 隨機(jī)變量，稱 ?(t) = E( eitX ) 為 X 的特征函數(shù) . (必定存在 ) 注意： 1i ?? 是虛數(shù)單位 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 4頁(yè) 注 意 點(diǎn) (1) (1) 當(dāng) X為離散隨機(jī)變量時(shí)， (2) 當(dāng) X為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)， 1() kitx kkept? ??? ?( )d() itxe p x xt? ??????這是 p(x) 的傅里葉變換 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 5頁(yè) 特征函數(shù)的計(jì)算中用到復(fù)變函數(shù)，為此注意： 注 意 點(diǎn) (2) (1) 歐拉公式 ： co s ( ) s i n ( )itxe t x i t x??(2) 復(fù)數(shù)的共軛 ： a b i a b i? ? ?(3) 復(fù)數(shù)的模 ： 22a b i a b? ? ?第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 6頁(yè) 性質(zhì) 特征函數(shù)的性質(zhì) |?(t)| ? ?(0)=1 性質(zhì) ( ) ( )tt???? 性質(zhì) ( ) ( )i b t Xa X b t e a t??? ? 性質(zhì) 若 X 與 Y 獨(dú)立，則 ( ) ( ) ( )X Y X Yt t t? ? ?? ? 性質(zhì) () ()(0)k kki E X? ?第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 7頁(yè) 定理 特征函數(shù)的定理 一致連續(xù)性 . 定理 定理 定理 唯一性 . 定理 非負(fù)定性 . 逆轉(zhuǎn)公式 . 連續(xù)場(chǎng)合， 1 ( ) d2() itxe t tpx ?? ???? ??第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 8頁(yè) 167。 大數(shù)定律 ? 討論 “ 概率是頻率的穩(wěn)定值 ”的確切含義； ? 給出幾種大數(shù)定律： 伯努利大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律、 馬爾可夫大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 9頁(yè) 伯努利 大數(shù)定律 定理 （伯努利大數(shù)定律） 設(shè) ?n 是 n重伯努利試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) ，每次試驗(yàn)中 P(A) = p, 則
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