【正文】 第四章 常用概率分布 為了 便于讀者理解統(tǒng)計分析的基本原理，正確掌握和應用以后各章所介紹的統(tǒng)計分析方法，本章在介紹概率論中最基本的兩個概念 ——事件、概率的基礎上，重點介紹生物科學研究中常用的幾種隨機變量的概率分布 ——正態(tài)分布、二項分布、波松分布以及樣本平均數的抽樣分布和 t分布。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第一節(jié) 事件與概率 一、事 件 （一）必然現象與隨機現象 在自然界與生產實踐和科學試驗中，人們會觀察到各種各樣的現象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類： 下一張 主 頁 退 出 上一張 一類是可預言其結果的，即在保持條件不變的情況下，重復進行試驗，其結果總是確定的，必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。這類現象稱為 必然現象 （ inevitable phenomena）或 確定性現象 （ definite phenomena）。 另一類是事前不可預言其結果的，即在保持條件不變的情況下，重復進行試驗，其結果未必相同。這類在個別試驗中其結果呈現偶然性、不確定性現象，稱為 隨機現象 （ random phenomena ） 或 不 確 定 性 現 象（ indefinite phenomena）。 下一張 主 頁 退 出 上一張 隨機現象或不確定性現象，有如下特點： 在一定的條件實現時，有多種可能的結果發(fā)生，事前人們不能預言將出現哪種結果；對一次或少數幾次觀察或試驗而言，其結果呈現偶然性、不確定性； 但在相同條件下進行大量重復試驗時，其試驗結果卻呈現出某種固有的特定的規(guī)律性 ——頻率的穩(wěn)定性 ，通常稱之為隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性。 下一張 主 頁 退 出 上一張 （二）隨機試驗與隨機事件 隨機試驗 通常我們把根據某一研究目的 ， 在一定條件下對自然現象所進行的觀察或試驗統(tǒng)稱為 試驗 （ trial）。 而一個試驗如果滿足下述三個特性 ， 則 稱 其 為 一個 隨機試驗 （ random trial），簡稱 試驗 ： 下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 1）試驗可以在相同條件下多次重復進行； （ 2）每次試驗的可能結果不止一個 ，并且事先知道會有哪些可能的結果； （ 3）每次 試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個 ，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果。 例如在一定孵化條件下，孵化 6枚種蛋，觀察其出雛情況 ； 又如觀察兩頭臨產妊娠母牛所產犢牛的性別情況 ， 它們都具有隨機試驗的三個特征，因此都是隨機試驗。 下一張 主 頁 退 出 上一張 隨機事件 隨機試驗的每一種可能結果，在一定條件下可 能 發(fā) 生 ，也 可 能 不 發(fā)生，稱為 隨機事件（ random event），簡稱 事 件 (event），通常用 A、 B、 C等來表示。 （ 1）基本事件 我 們 把 不 能 再 分的事件稱為 基本事件（ elementary event） ， 也 稱 為 樣本點（ sample point）。 下一張 主 頁 退 出 上一張 例如，在編號為 … 、 10 的十頭豬中隨機抽取 1頭，有 10種不同的可能結果： “ 取 得 一 個 編 號 是 1” 、 “ 取得一個編號是 2”、 … 、 “ 取得一個編號是 10”，這 10個事件都是不可能再分的事件，它們都是基本事件。 由若干個基本事件組合而成的事件稱為 復合事件 （ pound event）。如 “ 取得一個編號是 2的倍數 ” 是一個復合事件，它由 “ 取得一個編號是2 ”、 “ 是 4”、 “ 是 “ 是 8”、 “ 是 10”5個基本事件組合而成。 下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 2）必然事件 我們把在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為 必然事件 （ certain event），用 Ω表示。 例如，在嚴格按妊娠期母豬飼養(yǎng)管理的要求飼養(yǎng)的條件下，妊娠正常的母豬經 114天左右產仔，就是一個必然事件。 下一張 主 頁 退 出 上一張 （ 3）不可能事件 我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為 不可能事件 （ impossible event），用 ф表示。 例如，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出雛雞，就是一個不可能事件。 必然事件與不可能事件實際上是確定性現象，即它們不是隨機事件， 但 是 為了方便起見，我們把它們看作為兩個特殊的隨機事件。 下一張 主 頁 退 出 上一張 二 、 概 率 （一）概率的統(tǒng)計定義 研究隨機試驗，僅知道可能發(fā)生哪些隨機事件是不夠的，還需了解各種隨機事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內在的統(tǒng)計規(guī)律性，從而指導實踐。這就要求有一個能夠 刻劃事件發(fā)生可能性大小的數量指標 ，這指標應該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們 稱之為概率 （ probability）。事件 A的概率記為 P（ A）。 下一張 主 頁 退 出 上一張 概率的統(tǒng)計定義 在相同條件下進行 n次重復試驗，如果隨機事件 A發(fā)生的次數為 m，那么m/n稱為隨機事件 A的 頻率 （ frequency）；當試驗重復數 n逐漸增大時，隨機事件 A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數值 p ， 那么 就 把 p稱為隨機事件 A的 概率 。 下一張 主 頁 退 出 上一張 這 樣 定 義 的 概 率 稱 為 統(tǒng) 計 概 率（ statistics probability），或者稱 后驗概率 （ posterior probability）。 例如 為了確定拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上這個事件的概率 ，歷史上有人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗。在表 4—1中列出了他們的試驗記錄。 下一張 主 頁 退 出 上一張 表 4—1 拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的 試驗記錄 下一張 主 頁 退 出 上一張 從表 41可看出，隨著實驗次數的增多，正面朝上這個事件發(fā)生的頻率越來越穩(wěn)定地接近 ，我們就把 。 在一般情況下，隨機事件的概率 p是不可能準確得到的。通常以試驗次數 n充分大時隨機事件 A的頻率作為該隨機事件概率的近似值。 即 P（ A） =p≈m/n （ n充分大） （ 41） 下一張 主 頁 退 出 上一張 （二）概率的古典定義 對于某些隨機事件，用不著進行多次重復試驗來確定其概率 ， 而是根據隨機事件本身的特性直接計算其概率。 有很多隨機試驗具有以下特征： 試驗的所有可能結果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個； 各 個 試驗的可能結果出現的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的； 試驗的所有可能結果兩兩互不相容。 下一張 主 頁 退 出 上一張 具有上述特征的隨機試驗，稱為 古典概型（ classical model）。對于古典概型，概率的定義如下： 設樣本空間由 n 個等可能的基本事件所構成，其中事件 A包含有 m個基本事件，則事件 A的概率為 m/n，即 P（ A） =m/n (42) 下一張 主 頁 退 出 上一張 這樣定義的概率稱為 古典概率 (classical probability)或 先驗概率 (prior probability)。 【 例 】 在編號為 … 、 10的十頭豬中隨機抽取 1頭，求下列隨機事件的概率。 （ 1） A=“抽得一個編號 ≤4”； （ 2） B=“抽得一個編號是 2的倍數 ” 。 因為該試驗樣本空間由 10個等可能的基本事件構成，即 n=10,而事件 A所包含的基本事件有 4個，即抽得編號為 1， 2， 3， 4中的任何一個，事件 A便發(fā)生，于是 mA=4，所以 下一張 主 頁 退 出 上一張 P(A)=mA/n=4/10= 同理，事件 B所包含的基本事件數 mB=5，即抽得編號為 2， 4， 6， 8， 10中的任何一個，事件 B便發(fā)生，故 P(B)=mB/n=5/10=。 【 例 】 在 N頭奶牛中，有 M頭曾有流產史，從這群奶牛中任意抽出 n頭奶牛，試求 : (1)其中恰有 m頭有流產史奶牛的概率是多少？ (2)若 N=30， M =8， n =10， m =2，其概率是多少？ 下一張 主 頁 退 出 上一張 我們把從有 M頭奶牛曾有流產史的 N頭奶牛中任意抽出 n頭奶牛 ，其中恰有 m頭有流產史這一事件 記為 A ， 因為 從 N 頭 奶 牛 中 任 意 抽 出 n 頭 奶牛的基本事件總數為 ； 事件 A所包含的基本事件數為 ； 因此所求事件 A的概率為： nNCmn MNmM CC ???下一張 主 頁 退 出 上一張 nNmnMNmMCCCAp ??? .)( 將 N=30， M =8， n =10， m =2代入上式，得 = 即在 30頭奶牛中有 8頭曾有流產史，從這群奶牛隨機抽出 10 頭奶牛其中有 2頭曾有流產史的概率為 %。 103021083028 .CCCAp ???）（下一張 主 頁 退 出 上一張 （三）概率的性質 對于任何事件 A，有 0≤P（ A） ≤1； 必然事件的概率為 1，即 P（ Ω） =1； 不可能事件的概率為 0，即 P（ ф） =0。 三、小概率事件實際不可能性原理 隨機事件的概率表示了隨機事件在一次試驗中出現的可能性大小。若隨機事件的概率很小，例如小于 、 、 ，稱之為小概率事件。 下一張 主 頁 退 出 上一張 小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗中出現的可能性很小，不出現的可能性很 大 ，以 至于實際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計學上， 把小概率事件在一次試驗中看成是實際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實際不可能性原理，亦稱為小概率原理 。小概率事件實際不可能性原理是統(tǒng)計學上進行假設檢驗（顯著性檢驗）的基本依據。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第二節(jié) 概率分布 事件的概率表示了一次試驗某一個結果發(fā)生的可能性大小。若要全面了解試驗，則必須知道試驗的全部可能結果及各種可能結果發(fā)生的概率，即必須知道隨機試驗的概率分布 (probability distribution)。為了深入研究隨機試驗 ，我 們 先引入隨機變量(random variable)的概念。 下一張 主 頁 退 出 上一張 一、隨機變量 作一次試驗，其結果有多種可能。每一種可能結果都可用一個數來表示，把這些數作為變量x的取值范圍，則試驗結果可用變量 x來表示。 【 例 】 對 100頭病畜用某種藥物進行治療，其可能結果是 “ 0頭治愈 ” 、 “ 1頭治愈 ” 、“ 2頭治愈 ” 、 “ …” 、 “ 100頭治愈 ” 。若用 x表示治愈頭數，則 x的取值為 0、 … 、100。 下一張 主 頁 退