【正文】 ,… ， n，且有 = k=0,1,2… ， n 其中 p＞ 0， q＞ 0， p+q=1， 則稱 隨機變量 x服從參數(shù)為 n和 p的二項分布 (binomial distribution),記為 x～ B(n,p)。P( )由于試驗是獨立的，按 概率的乘法法則 ，于是有 P( )=P( )=… = P( ) = P( ) 先取 n=4， k=2來討論。 AA下一張 主 頁 退 出 上一張 在生物學(xué)研究中，我們經(jīng)常碰到的一類離散型隨機變量，如入孵 n枚種蛋的出雛數(shù)、 n頭病畜治療后的治愈數(shù)、 n 尾魚苗的成活數(shù)等，可用貝努利試驗來概括。 ?u1l2l1l 2l下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u第四節(jié) 二項分布 一、貝努利試驗及其概率公式 將某隨機試驗重復(fù)進(jìn)行 n次，若各次試驗結(jié)果互不影響 ， 即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這 n次試驗是獨立的 。 下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u ?u?u ?u?u ?u?u ?u 【 例 】 已知豬血紅蛋白含量 x服從正態(tài)分布 N ( ， )， 若 P (x ＜ ) =, P(x≥ )=,求 , 。因此， 只要已知雙側(cè)概率 α的值，由附表 2就可直接查出對應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù) ，查法與附表 1相同。即 P(x＜ ＝ = P(x＞ μ+)= 雙側(cè)概率或單側(cè)概率如 圖 4—8所示。 下一張 主 頁 退 出 上一張 對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機變量 x小于 μkσ或大于 μ+kσ的概率，稱為 單側(cè)概率 (一尾概率 ),記作 α／ 2。 生物統(tǒng)計中，不僅注意隨機變量 x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間 (μkσ,μ+kσ)之內(nèi)的概率而且 也很 關(guān)心 x落在此區(qū)間之外的概率。 x下一張 主 頁 退 出 上一張 表 4—2 126頭基礎(chǔ)母羊體重在 177。 P(μσ≤x＜ μ+σ)= P(μ2σ≤x＜ μ+2σ) = P (μ3σ≤x＜ μ+3σ) = P (≤x＜ μ+) = P (≤x＜ μ+)= 上述關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論，可用一實例來印證。 下一張 主 頁 退 出 上一張 【 例 】 設(shè) x服從 μ=,σ2=，試求 P(≤x＜ )。即： 下一張 主 頁 退 出 上一張 (413) 對 (413)式作變換 u=(xμ)／ σ，得dx=σdu，故有 其中， dxexxxP xxx?????? 21222)(21 21)( ? ???dueduexxxPxxuxxx??????????????????????/)(/)(212)(2121221222121)(）（）（ 122121221 uudueuuu ????? ? ?????? ???? 2211 ,xuxu下一張 主 頁 退 出 上一張 這表明服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機變量x 在 [ x1 ， x2 ）內(nèi)取值的概率 ， 等 于服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 u 在 [(x1μ)/σ, (x2μ)/σ）內(nèi)取值的概率 。 下一張 主 頁 退 出 上一張 由 (411) 式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式， 再借助附表 1 ， 便能很方便地計算有關(guān)概率： P(0≤u＜ u1)＝ Φ(u1) P(u≥u1) =Φ(u1) P(｜ u｜ ≥u1)=2Φ(u1) (412) P(｜ u｜＜ u1＝＝ 12Φ(u1) P(u1≤u＜ u2)＝ Φ(u2)Φ(u1) 下一張 主 頁 退 出 上一張 【 例 】 已知 u～ N(0， 1)，試求： (1) P(u＜ )＝ ? (2) P (u≥)=? (3) P (｜ u｜ ≥)=? (4) P(≤u＜ ) =? 下一張 主 頁 退 出 上一張 利用 (412)式，查附表 1得： (1) P(u＜ )= (2) P (u≥)=Φ()= (3) P (｜ u｜ ≥) =2Φ()=2 = (4) P (≤u＜ ) =Φ()Φ() == 下一張 主 頁 退 出 上一張 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： P（ 1≤u＜ 1） = P（ 2≤u＜ 2） = P（ 3≤u＜ 3） = P（ ≤u＜ ） = P (≤u＜ )= 圖 4—6 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個常用概率 下一張 主 頁 退 出 上一張 u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(｜ u｜ ≥1)=2Φ(1)=1 P(1≤u＜ 1) == P(｜ u｜ ≥2)=2Φ(2) =1 P（ 2≤u＜ 2） == P(｜ u｜ ≥3)== P(｜ u｜ ≥)== P(｜ u｜ ≥)== 下一張 主 頁 退 出 上一張 （二）一般正態(tài)分布的概率計算 正 態(tài) 分 布 密度曲線和橫軸圍成的一個區(qū)域，其面積為 1，這實際上表明了 “ 隨機變量 x取值在 ∞與 +∞之間 ” 是一個必然事件，其概率為 1。 在附表 1中 ， 所在列相交處的數(shù)值為 ，即 Φ()= 有 時 會 遇 到 給 定 Φ(u) 值 ， 例 如 Φ(u)=， 反過來查 u值。 下一張 主 頁 退 出 上一張 三、正態(tài)分布的概率計算 （一）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算 設(shè) u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則 u 在 [u1,u2 ）何內(nèi)取值的概率為： ＝ Φ(u2)－ Φ(u1) (411) 而 Φ(u1)與 Φ(u2)可由附表 1查得。 2221)( ueu ????dueu uu?????22121)(??下一張 主 頁 退 出 上一張 對于任何一個服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機變量 x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換： u=(xμ)／ σ (410) 將 其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量u。 我們稱 μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 (standard normal distribution)。 下一張 主 頁 退 出 上一張 分布密度曲線與橫軸所夾的面積為 1，即： 121)( 222)(???????????????dxexPx????下一張 主 頁 退 出 上一張 二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 由上述正態(tài)分布的特征可知 ，正態(tài)分布是依賴于參數(shù) μ和 σ2 (或 σ) 的一簇 分布 ， 正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨 μ和 σ2的不同而不同 。 σ是變異度參數(shù)， 如 圖 4—4所示 。 μ是位置參數(shù)，如 圖 4—3所示。 (二 ) 正態(tài)分布的特征 正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為 x=μ； f(x) 在 x =μ 處達(dá) 到 極 大 ， 極大值 ； f(x)是非負(fù)函數(shù)，以 x軸為漸近線，分布從 ∞至 +∞； ??? 21)( ?f下一張 主 頁 退 出 上一張 曲線在 x=μ177。 下一張 主 頁 退 出 上一張 一、正態(tài)分布的定義及其特征 （一） 正態(tài)分布的定義 若連續(xù)型隨機變量 x的概率分布密度函數(shù)為 (46) 其中 μ為平均數(shù)， σ2為方差，則稱隨機變量 x服從正態(tài)分布 (normal distribution)， 記為 x～ N(μ,σ2)。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。所以 (45) (4—5)式表示分布密度曲線下、橫軸上的全 部面積為 1。 圖 41 表 27資料的分布曲線 若記體 重概率分布密度函數(shù)為 f(x)，則 x取值于區(qū)間 [a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即 P(a≤xb)= (44) ?ba dxxf )( 連續(xù)型隨機變量概率分布的性質(zhì)： 分布密度函數(shù)總是大于或等于 0，即f(x)≥0； 當(dāng)隨機變量 x取某一特定值時，其概率等于 0；即 (c為任意實數(shù) ) 因而，對于連續(xù)型隨機變量，僅研究其在某一個區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個值的概率。 下一張 主 頁 退 出 上一張 (4—4) 式 為 連 續(xù) 型 隨機變量 x 在 區(qū)間 [a,b）上取值概率的表達(dá)式。 這條曲線排除了抽樣和測量的誤差 ， 完 全 反映了基礎(chǔ)母羊體重的變動規(guī)律。這時 ， 頻率分布直方圖各個直方上端中點的聯(lián)線 ── 頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線，換句話說，當(dāng) n→ +∞、 i→ 0時， 頻率分布折線 下一張 主 頁 退 出 上一張 的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線 。 下一張 主 頁 退 出 上一張 由表 2—7作 126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布直方圖 ，見圖 4—1，圖中縱座標(biāo)取頻率與組距的比值 。我們改用隨機變量 x在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率 P(a≤xb)來表示。常用 分 布 列 (distribution series)來表示離散型隨機變量： 下一張 主 頁 退 出 上一張 x1 x2 … xn … . p1 p2 … pn … 顯然離散型隨機變量的概率分