【正文】 15 20 25 30 35 40 450 .0 0 00 .0 0 40 .0 0 80 .0 1 20 .0 1 60 .0 2 0)(yfN )(yfN)(yfN )(yfN21 )26( ??yP)40( ??yP76 )4026( ??? yP02 )40( ??yP圖 概率計算圖示 [例 ] 在應(yīng)用正態(tài)分布時，經(jīng)常要討論隨機變數(shù) y離其平均數(shù)的差數(shù)大于或小于若干個值的概率。 正無窮大F (b)F(a)A=F(b) F( a)ba圖 正態(tài)分布的累積函數(shù) FN (y) 長度 A=P(a＜ y≤b) [例 ] 假定 y是一隨機變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù) =30，標(biāo)準(zhǔn)差 =5，試計算小于 26，小于 40的概率，介乎 26和 40區(qū)間的概率以及大于 40的概率。15) 如果 a與 b(ab)是 y的兩個定值，則其區(qū)間概率可從下式計算： )()()( aFbFbyaP NN ???? (414) 這里 FN(y)稱為正態(tài)分布的累積函數(shù)，具有平均數(shù) 和標(biāo)準(zhǔn)差 。 ? ?? ????? baydybyaP e ????22121)( (4 2s， 177。 ～ 140 表 140行水稻產(chǎn)量在 177。 ～ 134 177。 ～ 99 177。 ks 數(shù)值 (g) 區(qū)間 (g) 區(qū)間內(nèi)包括的次數(shù) 次數(shù) % 177。實驗的結(jié)果與正態(tài)分布的理論結(jié)果很相近。 = 177。 2 = 177。詳細(xì)數(shù)值見附表 2，下面為幾對常見的區(qū)間與其相對應(yīng)的面積或概率的數(shù)字： ?區(qū)間 177。 5. 正態(tài)曲線與橫軸之間的總面積等于 1，因此在曲線下橫軸的任何定值，例如從 y=y1到 y=y2之間的面積，等于介于這兩個定值間面積占總面積的成數(shù)，或者說等于 y落于這個區(qū)間內(nèi)的概率。曲線兩尾向左右伸展，永不接觸橫軸，所以當(dāng) y→ 177。 ???? ??? ??? ?3 2 1 0 1 2 3 4 5 60 .00 .10 .20 .30 .40 .5yfN( y ) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 60 .00 .10 .20 .30 .40 .5y )(yfN1?1??2?2?3?1? 2? 3?圖 標(biāo)準(zhǔn)差相同 ( 1)而平均數(shù)不同 ( =0、 = =2)的三個正態(tài)分布曲線 ??1? 2? 3?圖 平均數(shù)相同 ( 0)而標(biāo)準(zhǔn)差不同 ( = =、 =2)的三個正態(tài)分布曲線 ??1? 2? 3? 3. 正態(tài)分布資料的次數(shù)分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)集中于算術(shù)平均數(shù) 附近，離平均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)的次數(shù)越少；且在 左右相等 | |范圍內(nèi)具有相等次數(shù)；在 | |≥3 以上其次數(shù)極少。 確定它在橫軸上的位置，而 確定它的變異度，不同 和 的正態(tài)總體具有不同的曲線和變異度，所以任何一個特定正態(tài)曲線必須在其 和 確定后才能確定。從所豎立的縱軸 f(y= )是最大值，所以正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)是相等的，三者均合一位于點 上。記作 N(0， 1)。9)式標(biāo)準(zhǔn)化為： eu u 22121 ???? )( (4 ? ??????? 2?參數(shù) 和 有如下的數(shù)學(xué)表述 ?????? ???????????? 22 dyyfydyyyfNN)()()(???(4可以推導(dǎo)出正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為： ? ?eyf yN ? ?????? 22121)((4 倘 n或組數(shù)增加到無窮多時 (n→∞ )，多邊形的折線就表現(xiàn)為一個光滑曲線。從圖 稱的，分布的平均數(shù) 和方差 為： ?2?=npq=20(1/2)(1/2)=5(株 )2 。 本例標(biāo)準(zhǔn)差估計值為 ? ???第三節(jié) 正態(tài)分布 一、二項分布的極限 — 正態(tài)分布 二、正態(tài)分布曲線的特性 三、計算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 一、二項分布的極限 — 正態(tài)分布 以上述二項分布棉株受害率為例，假定受害概率p=1/2，那么， p=q=1/2。8)計算。理論次數(shù)須從泊松分布的概率計算，即從 (p+q)n的極限為： ...)!...!21(1)(2????????? ?? ymmmeeeqpymmmn其中 y=0， 1， 2， 3， … . . .!. . .!212????? ymmmyme是 的泰勒展開式 (4 表 1mm2分為 400個平方格的結(jié)果。 00 2 4 6 8 10m=m=m=)(yPy 圖 不同 m值的泊松分布 ? 2? ? [例 ] 1907年 Student氏進(jìn)行以血球計計數(shù)酵母細(xì)胞精確度試驗。 泊松分布的平均數(shù) 、方差 和標(biāo)準(zhǔn)差 如下式 ： m?? m?2? m?? 這一分布包括一個參數(shù) m，由 m的大小決定其分布形狀如圖 。 令 np=m，則泊松分布如下式： !)( yemyP my ?? y=0， 1， 2， … ， ∞ e=… 為自然對數(shù)的底數(shù)。 表 多項式分布的概率計算 變 量 (y y y3) 概率及其計算 P(y y y3) (0， 0， 2) (0， 1， 1) (0， 2， 0) (1， 0， 1) (1， 1， 0) (2， 0， 0) 361)61()31()21(0 ! 0 ! 2 !2! 200 ?91)61()31()21(0 ! 1 ! 1 !2! 110 ?91)61()31()21(0!2!0!2! 020 ?61)61()31()21(1 ! 0 ! 1 !2! 101 ?31)61()31()21(1 ! 1 ! 0 !2! 011 ?41)61()31()21(2!0!0!2! 002 ?五、泊松分布 — 二項分布的一種極限分布 二項分布中往往會遇到一個概率 p或 q是很小的值，例如小于 ，另一方面 n又相當(dāng)大，這樣的二項分布必將為另一種分布所接近，或者為一種極限分布。那么得到這樣一個事件的概率為： 多項分布的概率計算 kkkkkykyykykyykkkkykyyyyyynyynynkpppyyynpppyyyynyyyynyynyynynynpppCCCyyyyP????21212112121121212112112121211121...321!!!!)!...(!)!...(...)!(!)!()!(!!......???????????????????????????)，( [例 ] 某藥對病人有效的概率為 1/2，對病人無效的概率為 1/3，有副作用的概率為 1/6，若隨機抽取 2個使用該藥的病人，那么我們的結(jié)果可能包括這樣幾種事件：2個病人有副作用；一個無效、一個有副作用；兩個無效；一個有效、一個有副作用；一個有效、一個無效；兩個均有效。 設(shè)總體中共包含有 k項事件，它們的概率分別為 pp p … 、 pk，顯然 p1+p2+p3+…+ pk=1。 例如在給某一人群使用一種新藥，可能有的療效好，有的沒有療效，而另有療效為副作用的，就是三項分布。 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5)(yf 受害株數(shù) ( y) 圖 棉株受盲椿害的概率函數(shù) f(y)圖 (p=， n=5株 ) 受害株數(shù) (y) )(yP圖 棉株受盲蝽象為害的概率分布圖 (p=， n=5) 二項式分布的參數(shù) 仍以上述棉株受害為例，抽取 5株中受害株數(shù)的多少 (y)作為統(tǒng)計指標(biāo)的話，從總體中可以抽取的所有樣本均有一個 y，這樣所有的 y構(gòu)成了一個新總體，該總體也屬于二項式總體，其平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差如下式 np?? npq?2? npq?? 從而，上述棉田受害率調(diào)查結(jié)果， n=5， p=，可求得總體參數(shù)為： =5 =， 株。試問如新藥無療效，則在 10頭中死 3頭、 2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？ 按上述二項分布概率函數(shù)式計算 7頭愈好， 3頭死去概率： 8頭愈好， 2頭死去概率： 9頭愈好， 1頭死去概率： 10頭全部愈好的概率： 2 1 4 9 )()()3( 73310 ?? CP1 2 0 9 )()()2( 82210 ?? CP0 4 0 3 )()()1( 91110 ?? CP)()()0( 100010 ?? CP 若問 10頭中不超過 2頭死去的概率為多少？則應(yīng)該應(yīng)用累積函數(shù)，即 )2()1()0()()2(20???????? ?PPPyPF三、二項式分布的形狀和參數(shù) 圖 p=1/2時的概率分布圖。 A 如調(diào)查 5株為一個抽樣單位，即 n=5，則受害株數(shù) y=0，1， 2， 3， 4和 5的概率可以計算出來，如表 。這一試驗是可以重復(fù)的。數(shù)學(xué)上的組合公式為： )!(!!ynynC yn ?? 二項式中包含兩項，這兩項的概率為 p、 q，并且p+q=1，可推知變量 y的概率函數(shù)為： ynyyn qpCyP ??)(? ??nyyP0)( 1累積函數(shù) F(y)：變量小于等于 y的所有可能取值的概率之和 ? ???yiiyPyF0)()(理論次數(shù)