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第四章理論分布和抽樣分布-文庫吧資料

2024-08-14 13:37本頁面
  

【正文】 15 20 25 30 35 40 450 .0 0 00 .0 0 40 .0 0 80 .0 1 20 .0 1 60 .0 2 0)(yfN )(yfN)(yfN )(yfN21 )26( ??yP)40( ??yP76 )4026( ??? yP02 )40( ??yP圖 概率計(jì)算圖示 [例 ] 在應(yīng)用正態(tài)分布時(shí),經(jīng)常要討論隨機(jī)變數(shù) y離其平均數(shù)的差數(shù)大于或小于若干個(gè)值的概率。 正無窮大F (b)F(a)A=F(b) F( a)ba圖 正態(tài)分布的累積函數(shù) FN (y) 長度 A=P(a< y≤b) [例 ] 假定 y是一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布,平均數(shù) =30,標(biāo)準(zhǔn)差 =5,試計(jì)算小于 26,小于 40的概率,介乎 26和 40區(qū)間的概率以及大于 40的概率。15) 如果 a與 b(ab)是 y的兩個(gè)定值,則其區(qū)間概率可從下式計(jì)算: )()()( aFbFbyaP NN ???? (414) 這里 FN(y)稱為正態(tài)分布的累積函數(shù),具有平均數(shù) 和標(biāo)準(zhǔn)差 。 ? ?? ????? baydybyaP e ????22121)( (4 2s, 177。 ~ 140 表 140行水稻產(chǎn)量在 177。 ~ 134 177。 ~ 99 177。 ks 數(shù)值 (g) 區(qū)間 (g) 區(qū)間內(nèi)包括的次數(shù) 次數(shù) % 177。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與正態(tài)分布的理論結(jié)果很相近。 = 177。 2 = 177。詳細(xì)數(shù)值見附表 2,下面為幾對(duì)常見的區(qū)間與其相對(duì)應(yīng)的面積或概率的數(shù)字: ?區(qū)間 177。 5. 正態(tài)曲線與橫軸之間的總面積等于 1,因此在曲線下橫軸的任何定值,例如從 y=y1到 y=y2之間的面積,等于介于這兩個(gè)定值間面積占總面積的成數(shù),或者說等于 y落于這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。曲線兩尾向左右伸展,永不接觸橫軸,所以當(dāng) y→ 177。 ???? ??? ??? ?3 2 1 0 1 2 3 4 5 60 .00 .10 .20 .30 .40 .5yfN( y ) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 60 .00 .10 .20 .30 .40 .5y )(yfN1?1??2?2?3?1? 2? 3?圖 標(biāo)準(zhǔn)差相同 ( 1)而平均數(shù)不同 ( =0、 = =2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線 ??1? 2? 3?圖 平均數(shù)相同 ( 0)而標(biāo)準(zhǔn)差不同 ( = =、 =2)的三個(gè)正態(tài)分布曲線 ??1? 2? 3? 3. 正態(tài)分布資料的次數(shù)分布表現(xiàn)為多數(shù)次數(shù)集中于算術(shù)平均數(shù) 附近,離平均數(shù)越遠(yuǎn),其相應(yīng)的次數(shù)越少;且在 左右相等 | |范圍內(nèi)具有相等次數(shù);在 | |≥3 以上其次數(shù)極少。 確定它在橫軸上的位置,而 確定它的變異度,不同 和 的正態(tài)總體具有不同的曲線和變異度,所以任何一個(gè)特定正態(tài)曲線必須在其 和 確定后才能確定。從所豎立的縱軸 f(y= )是最大值,所以正態(tài)分布曲線的算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)和眾數(shù)是相等的,三者均合一位于點(diǎn) 上。記作 N(0, 1)。9)式標(biāo)準(zhǔn)化為: eu u 22121 ???? )( (4 ? ??????? 2?參數(shù) 和 有如下的數(shù)學(xué)表述 ?????? ???????????? 22 dyyfydyyyfNN)()()(???(4可以推導(dǎo)出正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為: ? ?eyf yN ? ?????? 22121)((4 倘 n或組數(shù)增加到無窮多時(shí) (n→∞ ),多邊形的折線就表現(xiàn)為一個(gè)光滑曲線。從圖 稱的,分布的平均數(shù) 和方差 為: ?2?=npq=20(1/2)(1/2)=5(株 )2 。 本例標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值為 ? ???第三節(jié) 正態(tài)分布 一、二項(xiàng)分布的極限 — 正態(tài)分布 二、正態(tài)分布曲線的特性 三、計(jì)算正態(tài)分布曲線區(qū)間面積或概率的方法 一、二項(xiàng)分布的極限 — 正態(tài)分布 以上述二項(xiàng)分布棉株受害率為例,假定受害概率p=1/2,那么, p=q=1/2。8)計(jì)算。理論次數(shù)須從泊松分布的概率計(jì)算,即從 (p+q)n的極限為: ...)!...!21(1)(2????????? ?? ymmmeeeqpymmmn其中 y=0, 1, 2, 3, … . . .!. . .!212????? ymmmyme是 的泰勒展開式 (4 表 1mm2分為 400個(gè)平方格的結(jié)果。 00 2 4 6 8 10m=m=m=)(yPy 圖 不同 m值的泊松分布 ? 2? ? [例 ] 1907年 Student氏進(jìn)行以血球計(jì)計(jì)數(shù)酵母細(xì)胞精確度試驗(yàn)。 泊松分布的平均數(shù) 、方差 和標(biāo)準(zhǔn)差 如下式 : m?? m?2? m?? 這一分布包括一個(gè)參數(shù) m,由 m的大小決定其分布形狀如圖 。 令 np=m,則泊松分布如下式: !)( yemyP my ?? y=0, 1, 2, … , ∞ e=… 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。 表 多項(xiàng)式分布的概率計(jì)算 變 量 (y y y3) 概率及其計(jì)算 P(y y y3) (0, 0, 2) (0, 1, 1) (0, 2, 0) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (2, 0, 0) 361)61()31()21(0 ! 0 ! 2 !2! 200 ?91)61()31()21(0 ! 1 ! 1 !2! 110 ?91)61()31()21(0!2!0!2! 020 ?61)61()31()21(1 ! 0 ! 1 !2! 101 ?31)61()31()21(1 ! 1 ! 0 !2! 011 ?41)61()31()21(2!0!0!2! 002 ?五、泊松分布 — 二項(xiàng)分布的一種極限分布 二項(xiàng)分布中往往會(huì)遇到一個(gè)概率 p或 q是很小的值,例如小于 ,另一方面 n又相當(dāng)大,這樣的二項(xiàng)分布必將為另一種分布所接近,或者為一種極限分布。那么得到這樣一個(gè)事件的概率為: 多項(xiàng)分布的概率計(jì)算 kkkkkykyykykyykkkkykyyyyyynyynynkpppyyynpppyyyynyyyynyynyynynynpppCCCyyyyP????21212112121121212112112121211121...321!!!!)!...(!)!...(...)!(!)!()!(!!......???????????????????????????),( [例 ] 某藥對(duì)病人有效的概率為 1/2,對(duì)病人無效的概率為 1/3,有副作用的概率為 1/6,若隨機(jī)抽取 2個(gè)使用該藥的病人,那么我們的結(jié)果可能包括這樣幾種事件:2個(gè)病人有副作用;一個(gè)無效、一個(gè)有副作用;兩個(gè)無效;一個(gè)有效、一個(gè)有副作用;一個(gè)有效、一個(gè)無效;兩個(gè)均有效。 設(shè)總體中共包含有 k項(xiàng)事件,它們的概率分別為 pp p … 、 pk,顯然 p1+p2+p3+…+ pk=1。 例如在給某一人群使用一種新藥,可能有的療效好,有的沒有療效,而另有療效為副作用的,就是三項(xiàng)分布。 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5)(yf 受害株數(shù) ( y) 圖 棉株受盲椿害的概率函數(shù) f(y)圖 (p=, n=5株 ) 受害株數(shù) (y) )(yP圖 棉株受盲蝽象為害的概率分布圖 (p=, n=5) 二項(xiàng)式分布的參數(shù) 仍以上述棉株受害為例,抽取 5株中受害株數(shù)的多少 (y)作為統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的話,從總體中可以抽取的所有樣本均有一個(gè) y,這樣所有的 y構(gòu)成了一個(gè)新總體,該總體也屬于二項(xiàng)式總體,其平均數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差如下式 np?? npq?2? npq?? 從而,上述棉田受害率調(diào)查結(jié)果, n=5, p=,可求得總體參數(shù)為: =5 =, 株。試問如新藥無療效,則在 10頭中死 3頭、 2頭、1頭,以及全部愈好的概率為多少? 按上述二項(xiàng)分布概率函數(shù)式計(jì)算 7頭愈好, 3頭死去概率: 8頭愈好, 2頭死去概率: 9頭愈好, 1頭死去概率: 10頭全部愈好的概率: 2 1 4 9 )()()3( 73310 ?? CP1 2 0 9 )()()2( 82210 ?? CP0 4 0 3 )()()1( 91110 ?? CP)()()0( 100010 ?? CP 若問 10頭中不超過 2頭死去的概率為多少?則應(yīng)該應(yīng)用累積函數(shù),即 )2()1()0()()2(20???????? ?PPPyPF三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù) 圖 p=1/2時(shí)的概率分布圖。 A 如調(diào)查 5株為一個(gè)抽樣單位,即 n=5,則受害株數(shù) y=0,1, 2, 3, 4和 5的概率可以計(jì)算出來,如表 。這一試驗(yàn)是可以重復(fù)的。數(shù)學(xué)上的組合公式為: )!(!!ynynC yn ?? 二項(xiàng)式中包含兩項(xiàng),這兩項(xiàng)的概率為 p、 q,并且p+q=1,可推知變量 y的概率函數(shù)為: ynyyn qpCyP ??)(? ??nyyP0)( 1累積函數(shù) F(y):變量小于等于 y的所有可能取值的概率之和 ? ???yiiyPyF0)()(理論次數(shù)
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