【正文】 受害株數(shù) (y) 圖 棉株受盲蝽象為害的概率分布圖 (p=， n=5) 圖 棉株受盲蝽象為害的累積概率函數(shù) F(y)圖 (p=， n=5) [例 ] 某種昆蟲在某地區(qū)的死亡率為 40%，即 p=，現(xiàn)對這種害蟲用一種新藥進(jìn)行治療試驗(yàn)，每次抽樣 10頭作為一組治療。當(dāng) m值小時分布呈很偏斜形狀，m增大后則逐漸對稱。9) 其中， y是所研究的變數(shù)； 是概率密度函數(shù)； )(yfN? 和 為總體參數(shù)， 表示所研究總體平均數(shù)， 表示所研究總體標(biāo)準(zhǔn)差，不同正態(tài)分布可以有不同的 和 ，但某一定總體的 和 是常數(shù)。 ? ???y ??y ???y ? 正態(tài)曲線的任何兩個 y定值 ya與 yb之間的面積或概率乃完全以曲線的 和 而確定的。 1s， 177。 ，在其范圍內(nèi)包括 99%的變量，僅有 1%變量在此范圍之外。 隨機(jī)樣本的任何一種統(tǒng)計(jì)數(shù)都可以是一個變量，這種變量的分布稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)的 抽樣分布 。20) (三 ) 兩個獨(dú)立隨機(jī)樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 如果從一個總體隨機(jī)地抽取一個樣本容量為 n1的樣本，同時隨機(jī)獨(dú)立地從另一個總體抽取一個樣本容量為 n2的樣本，那么可以得到分別屬于兩個總體的樣本，這兩個獨(dú)立隨機(jī)抽取的樣本平均數(shù)間差數(shù) ( )的抽樣分布參數(shù)與兩個母總體間存在如下關(guān)系： (1) 該抽樣分布的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)之差相等。23) [例 ] 在江蘇沛縣調(diào)查 336個 m2小地老虎蟲危害情況的結(jié)果， =， =，試問樣本容量 n=30時，由于隨機(jī)抽樣得到樣本平均數(shù) 等于或小于 ？ ? ?y 查附表 2， P(u≤－ )=，即概率為 % (屬一尾概率 )。 pp ??p?? npp )/( ?1 2022280960 /. 由于二項(xiàng)分布在 np及 nq大于 5時，趨近于正態(tài)分布，本例樣本較大可看為正態(tài)分布，采用正態(tài)離差 u查出概率。假定調(diào)查 2022株作為一個總體，受害株為 704株。 3 2 1 0 1 2 30 . 00 . 20 . 40 . 60 . 81 . 01 . 2n=4n = 1n = 9)(yfN?y圖 不同樣本容量的抽樣分布 由中心極限定理知，只要樣本容量適當(dāng)大，不論總體分布形狀如何，其 的分布都可看作為正態(tài)分布，且具平均數(shù) 和方差 。 由表中第一列當(dāng) N=3， n=1的總體平均數(shù)和方差為： y 當(dāng)樣本容量依次為 8時，其 相應(yīng)為 4；其 相應(yīng)為 4/ 2/ 1/3。 如果從容量為 N的有限總體抽樣，若每次抽取容量為 n的樣本，那么一共可以得到 個樣本 (所有可能的樣本個數(shù) )。例如計(jì)算離均差絕對值等于小于和等于大于 1 的概率為： ?68 26 86 13 )( ??????? ???? yP也可以簡寫為 )( ??? ??yP)( ?????? ??yP 相應(yīng)地，離均差絕對值等于小于 2 、等于大于 2 、等于小于 3 和等于大于 3 的概率值為： ? ?? ?9 5 4 )22()22()2( ????????????? uPyPyP ??????0 4 5 5 4 )2( ????? ??yP9 9 7 )33()33()3( ????????????? uPyPyP ??????0 0 2 9 7 )3( ????? ??yP以上結(jié)果解釋了正態(tài)分布曲線的概率特性，可參考圖 。 2s 177。 4. 正態(tài)曲線在 | |=1 處有“拐點(diǎn)”。 =np=20(1/2)=10(株 )， ?2?0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20圖 棉株受害率 (+)20分布圖（實(shí)線表示二項(xiàng) 式概率分布，虛線表示接近的正態(tài)分布曲線） ?如 p=q，不論 n值大或小，二項(xiàng)分布的多邊形圖必形成對稱； ?如 p≠q，而 n很大時，這多邊形仍趨對稱 。這一種分布稱泊松概率分布，簡稱 泊松分布 ( Poisson distribution )。現(xiàn)受害株事件為 A，其概率為 p=，未受害株事件為對立事件，其概率 q=(1－ )=。在討論試驗(yàn)結(jié)果時，就可以簡單地把拋硬幣試驗(yàn)用取值為 0， 1的變量來表示。 三、計(jì)算事件概率的法則 (一 ) 互斥事件的加法 (二 ) 獨(dú)立事件的乘法 (三 ) 對立事件的概率 (四 ) 完全事件系的概率 (五 ) 非獨(dú)立事件的乘法 (一 ) 互斥事件的加法 假定兩互斥事件 A和 B的概率分別為 P(A)和 P(B)。 事件間的和事件可以推廣到多個事件：事件 AA … 、 An至少有一發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為事件 AA … 、 An的和事件，記為 A1+A2+…+ An= ??ni i1A (二 ) 積事件 事件 A和 B同時發(fā)生所構(gòu)成的新事件稱為事件 A和 B的 積事件 ，記作 AB，讀作“ A和 B同時發(fā)生或相繼發(fā)生”。 事件發(fā)生的可能性 (概率 )是在大量的實(shí)驗(yàn)中觀察得到的， 例如棉田發(fā)生盲蝽象為害的情況，并不是所有的棉株都受害，隨著觀察的次數(shù)增多，我們對棉株受害可能性程度大小的把握越準(zhǔn)確、越穩(wěn)定。 現(xiàn)以 n代表調(diào)查株數(shù)，以 a代表受害株數(shù)，那么可以計(jì)算出受害頻率 p=a/n。 這一定義也可以推廣到 n個事件。假定 P(A1)，P(A2)， … ， P(An)是 n個相互獨(dú)立事件各自出現(xiàn)的概率，則該n個事件同時出現(xiàn)的概率 P(A1A2…A n)等于各自出現(xiàn)概率之乘積，即 P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)… P(An)。 離散型隨機(jī)變量 當(dāng)試驗(yàn)只有幾個確定的結(jié)果，并可一一列出，變量 y的取值可用實(shí)數(shù)表示，且 y取某一值時，其概率是確定的，這種類型的變量稱為離散型隨機(jī)變量。試問如新藥無療效，則在 10頭中死 3頭、 2頭、1頭，以及全部愈好的概率為多少？ 按上述二項(xiàng)分布概率函數(shù)式計(jì)算 7頭愈好， 3頭死去概率： 8頭愈好， 2頭死去概率： 9頭愈好， 1頭死去概率： 10頭全部愈好的概率： 2 1 4 9 )()()3( 73310 ?? CP1 2 0 9 )()()2( 82210 ?? CP0 4 0 3 )()()1( 91110 ?? CP)()()0( 100010 ?? CP 若問 10頭中不超過 2頭死去的概率為多少？則應(yīng)該應(yīng)用累積函數(shù)，即 )2()1()0()()2(20???????? ?PPPyPF三、二項(xiàng)式分布的形狀和參數(shù) 圖 p=1/2時的概率分布圖。 00 2 4 6 8 10m=m=m=)(yPy 圖 不同 m值的泊松分布 ? 2? ? [例 ] 1907年 Student氏進(jìn)行以血球計(jì)計(jì)數(shù)酵母細(xì)胞精確度試驗(yàn)。 ? ??????? 2?參數(shù) 和 有如下的數(shù)學(xué)表述 ?????? ???????????? 22 dyyfydyyyfNN)()()(???(4詳細(xì)數(shù)值見附表 2，下面為幾對常見的區(qū)間與其相對應(yīng)的面積或概率的數(shù)字： ?區(qū)間 177。 2s， 177。上述結(jié)果寫作： ??y)()( ????? uPyP ??)()( ????? uPyP ??同理可求得： )()( ????? uPyP ??)()( ????? uPyP ?? 以上 乃正態(tài)曲線下左邊一尾 y從－ ∞到 上的面積和右邊一尾 y從 到 ∞上的面積之和，亦可寫成： )( ?? ??yP?? ??y?? ??y)()()( ?????? ???????? yPyPyP同理， 亦可寫成： )( ?? ??yP)()()( ?????? ???????? yPyPyP 以上兩式等號右側(cè)的前一項(xiàng)為 左尾概率 ，后一項(xiàng)為 右尾概率 ，其和概率稱為 兩尾概率值 。 除平均數(shù)抽樣分布外還有總和數(shù)、方差的抽樣分布等。 2121 ??? ??? yy (2) 該抽樣分布的方差與母總體方差間的關(guān)系為： 2221212222121 nnyyyy????? ????? (4因所得概率較大，說明差數(shù)－ ，從而證明這樣本平均數(shù) ，變異系數(shù)為： ( 頭)4 8 ????? ny ?? )( ???????? nyu ?%.%..yσCV y 0111 00374 480 ????(二 ) 兩個獨(dú)立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布 假定有兩個正態(tài)總體各具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為 ， 和 ， ，從第一個總體隨機(jī)抽取 n1個觀察值，同時獨(dú)立地從第二個總體隨時機(jī)抽取 n2個觀察值。 于是 =。 (三 ) 樣本總和數(shù) (次數(shù) )的抽樣分布 從二項(xiàng)總體進(jìn)行抽樣得到樣本，樣本總和數(shù)的抽樣分布參數(shù)為： 平均數(shù) : 方差 : npy ???)(1 pnpnpqy ????2?)(1 pnpnpqy ?????標(biāo)準(zhǔn)誤 : [例 ] 棉田盲蝽象為害棉株分為受害株與未受害株。 n2?? 圖 量 n=1， 4與 9時的分布，從圖中可以看出隨著樣本容量的增加，分布的集中程度增加了，說明方差減少了。 表 抽樣分布，并在圖。 抽樣 復(fù)置抽樣 ，指將抽得的個體放回總體后再繼續(xù)抽樣 不復(fù)置抽樣 ，指將抽得的個體不放回總體而繼續(xù)進(jìn)行抽樣 (一 ) 樣本平均數(shù)的抽樣及其分布參數(shù) 總體 隨機(jī)樣本 1 2 3 無窮個樣本 …… 圖 總體和樣本的關(guān)系 如圖 個總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣可以得到許多樣本，如果總體是無限總體，那么可以得到無限多個隨機(jī)樣本。 805 3026 .σ μyu ??????同理可得： FN(40)= 所以： P(26＜ y≤40)=FN(40)－ FN(26)=－