【文章內容簡介】 （ 1≤u＜ 1） = P（ 2≤u＜ 2） = P（ 3≤u＜ 3） = P（ ≤u＜ ） = P (≤u＜ )= 圖 4—6 標準正態(tài)分布的三個常用概率 下一張 主 頁 退 出 上一張 u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為： P(｜ u｜ ≥1)=2Φ(1)=1 P(1≤u＜ 1) == P(｜ u｜ ≥2)=2Φ(2) =1 P（ 2≤u＜ 2） == P(｜ u｜ ≥3)== P(｜ u｜ ≥)== P(｜ u｜ ≥)== 下一張 主 頁 退 出 上一張 （二）一般正態(tài)分布的概率計算 正 態(tài) 分 布 密度曲線和橫軸圍成的一個區(qū)域，其面積為 1，這實際上表明了 “ 隨機變量 x取值在 ∞與 +∞之間 ” 是一個必然事件，其概率為 1。 若隨機變量 x服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)，則 x的取值落在任意區(qū)間 [x1, x2） 的概率 ，記作 P(x1≤ x ＜ x2)，等于 圖 4—7 中陰影部分曲邊梯形面積。即： 下一張 主 頁 退 出 上一張 (413) 對 (413)式作變換 u=(xμ)／ σ，得dx=σdu，故有 其中， dxexxxP xxx?????? 21222)(21 21)( ? ???dueduexxxPxxuxxx??????????????????????/)(/)(212)(2121221222121)(）（）（ 122121221 uudueuuu ????? ? ?????? ???? 2211 ,xuxu下一張 主 頁 退 出 上一張 這表明服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機變量x 在 [ x1 ， x2 ）內取值的概率 ， 等 于服 從 標 準 正 態(tài) 分 布 的 隨 機 變 量 u 在 [(x1μ)/σ, (x2μ)/σ）內取值的概率 。 因此，計算一般正態(tài)分布的概率時， 只要將區(qū)間的上下限作適當變換 (標準化 )， 就可用查標準正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。 下一張 主 頁 退 出 上一張 【 例 】 設 x服從 μ=,σ2=，試求 P(≤x＜ )。 令 則 u服從標準正態(tài)分布，故 =P(≤u＜ ) =Φ()Φ() = = ) ()( ???????? xPxP下一張 主 頁 退 出 上一張 ?? xu 關于一般正態(tài)分布，以下幾個概率 (即隨機變量 x落在 μ加減不同倍數 σ區(qū)間的概率 )是經常用到的。 P(μσ≤x＜ μ+σ)= P(μ2σ≤x＜ μ+2σ) = P (μ3σ≤x＜ μ+3σ) = P (≤x＜ μ+) = P (≤x＜ μ+)= 上述關于正態(tài)分布的結論，可用一實例來印證。 從 圖 27可以看出 ， 126頭 基礎母羊體重資料的次數分布接近正態(tài)分布 ，現 根據 其 平均數 = (kg) ，標 準 差 S=(kg) ，算出平均數加減不同倍數標準差區(qū)間內 所包括的次數與頻率 ，列于表 4—2。 x下一張 主 頁 退 出 上一張 表 4—2 126頭基礎母羊體重在 177。 kS 區(qū)間內所包括的次數與頻率 下一張 主 頁 退 出 上一張 xx 由表 4—2可見，實際頻率與理論概率相當接近，說明 126 頭基礎母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布 ，從而可推斷基礎母羊體重這一隨機變量很可能是服從正態(tài)分布的。 生物統(tǒng)計中，不僅注意隨機變量 x落在平均數加減不同倍數標準差區(qū)間 (μkσ,μ+kσ)之內的概率而且 也很 關心 x落在此區(qū)間之外的概率。 我們把隨機變量 x落在平均數 μ加減不同倍數標準差 σ區(qū)間之外的概率稱為 雙側概率 (兩尾概率 )， 記作 α。 下一張 主 頁 退 出 上一張 對應于雙側概率可以求得隨機變量 x小于 μkσ或大于 μ+kσ的概率，稱為 單側概率 (一尾概率 ),記作 α／ 2。 例如， x落在 (,μ+)之外的雙側概率為 ，而單側概率為 。即 P(x＜ ＝ = P(x＞ μ+)= 雙側概率或單側概率如 圖 4—8所示。 x落在 (,μ+)之外的雙側概率為 ，而單側概率 P(x＜ )= P(x＞ μ+)= 下一張 主 頁 退 出 上一張 附表 2給出了滿足 P (｜ u｜＞ )=α的雙側分位 的數值。因此， 只要已知雙側概率 α的值，由附表 2就可直接查出對應的雙側分位數 ，查法與附表 1相同。 例如，已知 u～ N(0,1)試求： (1) P(u＜ )+P(u≥ )= (2) P( ≤u＜ ﹚ = 因為附表 2中的 α值是： ?u?u?udueuuu?????????221211下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u ?u ?u?u ?u ?u所以 （ 1) P(u＜ )+ P(u≥ ) =1 P( ≤ u＜ ﹚ ==α 由附表 2查得： = (2) P ( ≤u ＜ ) = ， α=1 P ( ≤u＜ )== 由附表 2查得： = 對于 x～ N(μ,σ2)，只要將其轉換為 u～N(0,1),即可求得相應的雙側分位數。 下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u ?u?u ?u?u ?u?u ?u 【 例 】 已知豬血紅蛋白含量 x服從正態(tài)分布 N ( ， )， 若 P (x ＜ ) =, P(x≥ )=,求 , 。 由題意可知， α／ 2=,α= 又因為 P(x≥)= 故 P(x＜ )+ P(x≥ ) = P(u＜ ) + P(u≥ ) 1l2l 1l 2l)()()( 11 ??????????uuPlxPlxP)() ( 2 ?????? ?uuPlxP1l 2l 下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u?u =1 P( ≤u＜ )==α 由附表 2查得： = , 所以 ( )/= ( )/= 即 ≈， ≈。 ?u1l2l1l 2l下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u第四節(jié) 二項分布 一、貝努利試驗及其概率公式 將某隨機試驗重復進行 n次，若各次試驗結果互不影響 ， 即每次試驗結果出現的概率都不依賴于其它各次試驗的結果，則稱這 n次試驗是獨立的 。 對于 n次獨立的試驗 ， 如果每次試驗結果出現且只出現對立事件 A與 之一， 在每次試驗中出現 A的概率是常數 p(0p1) ， 因而出現對立事件 的概率是 1p=q，則 稱 這一串重復的獨立試驗為 n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗 (Bernoulli trials )。 AA下一張 主 頁 退 出 上一張 在生物學研究中，我們經常碰到的一類離散型隨機變量，如入孵 n枚種蛋的出雛數、 n頭病畜治療后的治愈數、 n 尾魚苗的成活數等，可用貝努利試驗來概括。 在 n重貝努利試驗中，事件 A 可能發(fā)生 0，1， 2， … ， n次，現在我們來求事件 A 恰好發(fā)生 k(0≤k≤n)次的概率 Pn(k)。 先取 n=4， k=2來討論。在 4次試驗中，事件 A發(fā)生 2次的方式有以下 種： 24C4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA下一張 主 頁 退 出 上一張 其中 Ak(k=1,2,3,4)表示事件 A在第 k次試驗發(fā)生； (k=1,2,3,4)表示事件 A在第 k次試驗不發(fā)生。由于試驗是獨立的，按 概率的乘法法則 ，于是有 P( )=P( )=… = P( ) = P( )P( )P( )P( )= 又由于以上各種方式中，任何二種方式都是互不相容的，按 概率的加法法則 ，在 4 次試驗中，事件 A恰好發(fā)生 2次的概率為 kA4321 AAAA 4321 AAAA 4321 AAAA1A 2A 3A 4A 242 ?qp下一張 主 頁 退 出 上一張 P4(2) = P( ) + P( ) + … + P( )= 一般，在 n重貝努利試驗中，事件 A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為 k=0,1,2… ， n (414) 若把 (414)式與二項展開式 相比較就可以發(fā)現，在 n重貝努利試驗中，事件 A發(fā)生k次的概率恰好等于 展開式中的第 k+1項，所以也把(414)式稱作 二項概率公式 。 4321 AAAA 4321 AAAA4321 AAAA 24224 ?qpCknkkkn qpCkP ??)(?????nkknkknn qpCpq0)(下一張 主 頁 退 出 上一張 二、二項分布的意義及性質 二項分布定義如下： 設隨機變量 x所有可能取的值為零和正整數：0,1,2,… ， n，且有 = k=0,1,2… ， n 其中 p＞ 0， q＞ 0， p+q=1， 則稱 隨機變量 x服從參數為 n和 p的二項分布 (binomial distribution),記為 x～ B(n,p)。 )(kPn knC knkqp ?下一張 主 頁 退 出 上一張 二 項 分布是一種離散型隨機變量的概率分布。參數 n稱為離散參數 ， 只能取正整數； p 是連續(xù)參數，它能取 0與 1之間的任何數值 (q由 p確定，故不是另一個獨立參數 )。 容易驗證，二項分布具有概率分布的一切性質，即： P(x=k)= Pn(k) (k=0,1,… ， n) 二項分布的概率之和等于 1，即 1)(0?????? nnkknkkn