【正文】 由于 t分布左右對(duì)稱， t在區(qū)間（ ∞， t1）取值的概率也為 1F t df)。 df越小這種趨勢(shì)越明顯。它的概率分布密度函數(shù)如下： xxSx xxu ?? /)( ??xSx /)( ??下一張 主 頁 退 出 上一張 (426) 式中， t的取值范圍是（ ∞， +∞）； df=n1為自由度。 x xxSx x xS下一張 主 頁 退 出 上一張 第七節(jié) t 分 布 由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道： 若x～ N(μ, σ2)， 則 ～ N(μ, σ2/n)。 kxxx , .. ., 211x 2x nxx下一張 主 頁 退 出 上一張 對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S與樣本平均數(shù) 配合使用 ，記為 177。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值 。 nx /?? ?xxx?x?x下一張 主 頁 退 出 上一張 在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ往往是未知的，因而無法求得 。 標(biāo)準(zhǔn)誤大，說明各樣本平均數(shù) 間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。這就是中心極限定理。比較圖 4—12兩個(gè)分布，在 n由 2增到 4時(shí)，這種趨勢(shì)表現(xiàn)得相當(dāng)明顯。 根據(jù)表 4—6，在 n=2的試驗(yàn)中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為： x下一張 主 頁 退 出 上一張 =4/16=1/4=(1/2)/2= ?? ???? ? 316/1616/48148/)()( 22222 ?????? ? ??nnnxx NNxfxfNxf ??n/2?nxx ??? ???? 2/214/12下一張 主 頁 退 出 上一張 表 4—6 N=4, n=2和 n=4時(shí)的次數(shù)分布 下一張 主 頁 退 出 上一張 同理，可得 n=4時(shí)： 這就驗(yàn)證了 =μ， 的正確性。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明總體的兩個(gè)參數(shù)與 x 總體的兩個(gè)參數(shù)有如下關(guān)系： =μ， (4—24) x? x?x?x? nx?? ?下一張 主 頁 退 出 上一張 設(shè)有一個(gè) N=4 的 有 限總體，變數(shù)為 4。 顯然，樣本平均數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布叫做 樣本平均數(shù)的抽樣分布 ?，F(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取含量為 n的樣本，樣本平均數(shù)記為 。 前者指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個(gè)體不返置回原總體。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論，須對(duì)樣本的抽樣分布有所了解。在實(shí)際計(jì)算中， 當(dāng) λ≥20 (也有人認(rèn)為 λ≥6)時(shí)，用波松分布中的 λ代替正態(tài)分布中的 μ及 σ2 ，即可由后者對(duì)前者進(jìn)行近似計(jì)算。在這種場(chǎng)合，波松分布中的參數(shù) λ用二項(xiàng)分布的 n p代之；在 n→ ∞, p→ ， 二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因?yàn)槭桌l(fā)生之后可成為傳染源，會(huì)影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合波松分布的應(yīng)用條件。以=（ 423）式中的 λ，得 (k=0,1,2… ) 計(jì)算結(jié)果如表 4—5所示。 下一張 主 頁 退 出 上一張 【 例 】 為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù) ， 共得 400個(gè)記錄如下： 試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從波松分布。將（ 423）中的 λ得： (k=0,1,2,… ) 因?yàn)?=，所以畸形仔豬數(shù)各項(xiàng)的概率為： P(x=0)=／ (0! )= P(x=1)=／ (1! )= P(x=2)=／ (2! )= !)( ??? ekkxPk下一張 主 頁 退 出 上一張 P(x=3)=／ (3! )= P(x=4)=／ (4! )= 把上面各項(xiàng)概率乘以總觀察窩數(shù) (n=200)即得各項(xiàng)按波松分布的理論窩數(shù)。 所以在實(shí)際工作中，當(dāng) λ≥20時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。 下一張 主 頁 退 出 上一張 表 43 畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計(jì)分布 樣本均數(shù)和方差 S2計(jì)算結(jié)果如下： =Σfk/n =(120 0+62 1 +15 2+2 3+1 4)/200 = x下一張 主 頁 退 出 上一張 =， S2=,這兩個(gè)數(shù)是相當(dāng)接近的 ， 因此可以認(rèn)為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。如， 一定畜群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)， 畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)， 每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)， 單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù)等，都是服從波松分布的。此時(shí) (421) 式改寫為： = (422) 稱為樣本百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。 1 6 7 )1( 141115150015 ???? CCxp下一張 主 頁 退 出 上一張 【 例 】 仔豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為 20％，求 5 頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應(yīng)的概率。設(shè) 10頭仔豬中白色的為 x頭，則 x為服從二項(xiàng)分布 B(10， )的隨機(jī)變量。 此外 ，在 n較大， np、 nq 較接近時(shí) ，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng) n→ ∞時(shí)，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。 )(kPn knC knkqp ?下一張 主 頁 退 出 上一張 二 項(xiàng) 分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。P( ) 在 n重貝努利試驗(yàn)中，事件 A 可能發(fā)生 0，1， 2， … ， n次，現(xiàn)在我們來求事件 A 恰好發(fā)生 k(0≤k≤n)次的概率 Pn(k)。 由題意可知， α／ 2=,α= 又因?yàn)? P(x≥)= 故 P(x＜ )+ P(x≥ ) = P(u＜ ) + P(u≥ ) 1l2l 1l 2l)()()( 11 ??????????uuPlxPlxP)() ( 2 ?????? ?uuPlxP1l 2l 下一張 主 頁 退 出 上一張 ?u?u =1 P( ≤u＜ )==α 由附表 2查得： = , 所以 ( )/= ( )/= 即 ≈， ≈。 x落在 (,μ+)之外的雙側(cè)概率為 ，而單側(cè)概率 P(x＜ )= P(x＞ μ+)= 下一張 主 頁 退 出 上一張 附表 2給出了滿足 P (｜ u｜＞ )=α的雙側(cè)分位 的數(shù)值。 我們把隨機(jī)變量 x落在平均數(shù) μ加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差 σ區(qū)間之外的概率稱為 雙側(cè)概率 (兩尾概率 )， 記作 α。 從 圖 27可以看出 ， 126頭 基礎(chǔ)母羊體重資料的次數(shù)分布接近正態(tài)分布 ，現(xiàn) 根據(jù) 其 平均數(shù) = (kg) ，標(biāo) 準(zhǔn) 差 S=(kg) ，算出平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間內(nèi) 所包括的次數(shù)與頻率 ，列于表 4—2。 因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)， 只要將區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換 (標(biāo)準(zhǔn)化 )， 就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。這只要在附表1中找到與 最接近的值 ，對(duì)應(yīng)行的第一列數(shù) ， 對(duì)應(yīng)列的第一行數(shù) 值 ，即相應(yīng)的 u值為 u = ，即 Φ()= 如果要求更精確的 u值，可用線性插值法計(jì)算。 u 稱 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差(standard normal deviate)。 這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難， 需將一般的 N(μ， σ2) 轉(zhuǎn) 換為 μ= 0,σ2=1的正態(tài)分布。 當(dāng) σ恒定時(shí)， μ愈大，則曲線沿 x軸愈向右移動(dòng)；反之，μ愈小，曲線沿 x軸愈向左移動(dòng)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為 (47) 222)(21)( ???????xexf? ?????xxdxexF 222)(21)( ? ???下一張 主 頁 退 出 上一張 分布密度曲線如 圖 4—2所示。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。 下一張 主 頁 退 出 上一張 ? ??? cc dxxfcxP 0)()( 在 一次試驗(yàn)中 隨機(jī)變量 x之取值 必在 ∞＜ x＜ +∞范圍內(nèi)，為一必然事件。 這條曲線叫 概率分布密度曲線 ，相應(yīng)的函數(shù)叫 概率分布密度函數(shù) 。可以設(shè)想 ，如果樣本取得越來越大 (n→ +∞)，組分得越來越細(xì) (i→ 0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個(gè)穩(wěn)定值 ── 概率。 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量 (如體長(zhǎng)、體重、蛋重 )的概率分布不能用分布列來表示， 因?yàn)槠淇赡苋〉闹凳遣豢蓴?shù)的。 下一張 主 頁 退 出 上一張 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量 x，其可能取值至多為可列個(gè) ，且 以各種確定的概率取這些不同的值 ， 則 稱 x 為 離 散 型 隨 機(jī) 變 量 ( discrete random variable)； 如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量 x ，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值 ，且 x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱x為 連續(xù) 型 隨 機(jī) 變 量 ( continuous random variable)。若用 x表示治愈頭數(shù)，則 x的取值為 0、 … 、100。為了深入研究隨機(jī)試驗(yàn) ，我 們 先引入隨機(jī)變量(random variable)的概念。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上， 把小概率事件在一次試驗(yàn)中看成是實(shí)際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實(shí)際不可能性原理，亦稱為小概率原理 。 103021083028 .CCCAp ???）（下一張 主 頁 退 出 上一張 （三）概率的性質(zhì) 對(duì)于任何事件 A，有 0≤P（ A） ≤1； 必然事件的概率為 1，即 P（ Ω） =1； 不可能事件的概率為 0，即 P（ ф） =0。 【 例 】 在編號(hào)為 … 、 10的十頭豬中隨機(jī)抽取 1頭，求下列隨機(jī)事件的概率。 即 P（ A） =p≈m/n （ n充分大） （ 41） 下一張 主 頁 退 出 上一張 （二）概率的古典定義 對(duì)于某些隨機(jī)事件，用不著進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)來確定其概率 ， 而是根據(jù)隨機(jī)事件本身的特性直接計(jì)算其概率。在表 4—1中列出了他們的試驗(yàn)記錄。事件 A的概率記為 P（ A）。 例如，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出雛雞，就是一個(gè)不可能事件。如 “ 取得一個(gè)編號(hào)是 2的倍數(shù) ” 是一個(gè)復(fù)合事件，它由 “ 取得一個(gè)編號(hào)