【正文】 者間的關(guān)系如下： 對于二項分布，在 n→ ∞,p→ 0， 且 n p =λ(較小常數(shù) )情況下 ，二項分布 趨于 波 松布。在這種場合，波松分布中的參數(shù) λ用二項分布的 n p代之；在 n→ ∞, p→ ， 二項分布趨于正態(tài)分布。在這種場合 ，正態(tài)分布中的 μ、 σ2用二項分布的 n p、 n p q代之。在實際計算中，當(dāng) p＜ n 很大時 ， 二項分布可由波松分布近似；當(dāng) p＞ n很大時 ，二項分布可由正態(tài)分布近似。 下一張 主 頁 退 出 上一張 對于波松分布，當(dāng) λ→ ∞時 ，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實際計算中， 當(dāng) λ≥20 (也有人認(rèn)為 λ≥6)時，用波松分布中的 λ代替正態(tài)分布中的 μ及 σ2 ，即可由后者對前者進行近似計算。 下一張 主 頁 退 出 上一張 第六節(jié) 樣本平均數(shù)的抽樣分布 研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計學(xué)的中心內(nèi)容 。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手，一是從總體到樣本 ，這就是研究 抽樣分布 (sampling distribution)的問題； 二是從樣本到總體，這就是 統(tǒng)計推斷 (statistical inference)問題。 下一張 主 頁 退 出 上一張 統(tǒng)計推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計推斷的結(jié)論，須對樣本的抽樣分布有所了解。 我們知道，由總體中隨機地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計量 (如， S)也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計量也是隨機變量， 也有其概率分布。我們把 統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布 。 下一張 主 頁 退 出 上一張 一、樣本平均數(shù)抽樣分布 由總體隨機抽樣 (random sampling)的方法可分為 有返置抽樣和不返置抽樣 兩種。 前者指每次抽出一個個體后，這個個體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個體不返置回原總體。對于無限總體，返置與否都可保證各個體被抽到的機會相等。對于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個體被抽到的機會就不相等。 下一張 主 頁 退 出 上一張 設(shè)有一個總體 ，總體平均數(shù)為 μ,方差為 σ2，總體中各變數(shù)為 x， 將 此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個總體中隨機抽取含量為 n的樣本，樣本平均數(shù)記為 。 可以設(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個含量為 n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù) μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的 ，稱為 抽樣誤差 (sampling error)。 顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機變量，其概率分布叫做 樣本平均數(shù)的抽樣分布 。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為 樣本平均數(shù)的抽樣總體 。 下一張 主 頁 退 出 上一張 x 其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為 和 。 是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱 標(biāo)準(zhǔn)誤 (standard error)，它 表示平均數(shù)抽樣誤差的大小 。統(tǒng)計學(xué)上已證明總體的兩個參數(shù)與 x 總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系： =μ， (4—24) x? x?x?x? nx?? ?下一張 主 頁 退 出 上一張 設(shè)有一個 N=4 的 有 限總體，變數(shù)為 4。根據(jù) μ=Σx／ N和 σ2=Σ(xμ)2／N求得該總體的 μ、 σ σ為： μ=3, σ2=1／ 2, σ= = 21下一張 主 頁 退 出 上一張 從有限總體作返置隨機抽樣，所有可能的樣本數(shù)為 Nn其中 n為樣本含量 。以上述總體而論，如果從中抽取 n=2的樣本， 共可得 42=16 個樣本；如果樣本含量 n為 4 ，則 一 共 可 抽 得44=256個樣本。分別求這些樣本的平均數(shù) ，其次數(shù)分布如表 4—6所示。 根據(jù)表 4—6，在 n=2的試驗中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為： x下一張 主 頁 退 出 上一張 =4/16=1/4=(1/2)/2= ?? ???? ? 316/1616/48148/)()( 22222 ?????? ? ??nnnxx NNxfxfNxf ??n/2?nxx ??? ???? 2/214/12下一張 主 頁 退 出 上一張 表 4—6 N=4, n=2和 n=4時的次數(shù)分布 下一張 主 頁 退 出 上一張 同理，可得 n=4時： 這就驗證了 =μ， 的正確性。 若將表 4—6中兩個樣本平均數(shù)的抽樣總體作次數(shù)分布圖，則如 圖 412所示。 ?? ??? 32 5 6/7 6 8xnx /4/)2/1(8/125 6/32 22 ?? ????nx?? ??? 42181x? nx /?? ?下一張 主 頁 退 出 上一張 由以上模擬抽樣試驗可以看出 ，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機抽取樣本， 即使樣本含量很小 (n=2, n=4)，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量 n 的增大， 樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。比較圖 4—12兩個分布，在 n由 2增到 4時，這種趨勢表現(xiàn)得相當(dāng)明顯。 當(dāng) n＞ 30時， 的分布就近似正態(tài)分布了。 X 變量與 變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩 個定理說明： xx下一張 主 頁 退 出 上一張 1. 若 隨 機 變 量 x 服 從 正 態(tài) 分 布N(μσ2) ； 、 、 … 、 ， 是由 x 總體得來的隨機樣本，則統(tǒng)計量 =Σx／ n的概率分布也是正態(tài)分布， 且有 =μ， ， 即服從正態(tài)分布 N(μ,σ2／ n)。 2. 若隨機變量 x服從平均數(shù)是 μ，方差是σ2的分布 (不是正態(tài)分布 )； ， ， … ， 是由此總體得來的隨機樣本，則 統(tǒng) 計 量 =Σx／ n的概率分布，當(dāng) n相當(dāng)大時逼近正態(tài)分布 N(μ,σ2／ n)。這就是中心極限定理。 1x 2x nxxx? nx /?? ?1x 2x nxx下一張 主 頁 退 出 上一張 中心極限定理告訴我們：不論 x變量是連續(xù)型還是離散型，也無論 x服從何種分布，一般只要 n＞ 30，就可認(rèn)為 的分布是正態(tài)的。 若x的分布不很偏倚，在 n＞ 20時 ， 的分布就近似于正態(tài)分布了。 x下一張 主 頁 退 出 上一張 二、標(biāo) 準(zhǔn) 誤 標(biāo)準(zhǔn)誤 (平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差 ) 的大小反映樣本平均數(shù) 的抽樣誤差的大小，即精確性的高低 。 標(biāo)準(zhǔn)誤大，說明各樣本平均數(shù) 間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之， 小，說明間的差異程度小 ， 樣本平均數(shù)的精確性高。 的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差 σ成正比，與樣本含量 n的平方根成反比。從某特定總體抽樣 ，因為 σ是一常數(shù) ，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù) 的抽樣誤差。 nx /?? ?xxx?x?x下一張 主 頁 退 出 上一張 在實際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ往往是未知的，因而無法求得 。此時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計 σ。于是，以 估計 。記 為 ，稱作 樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是平均數(shù)抽樣誤差的估計值 。若樣本中各觀測值為 ， ， … ， ，則 (425) x?nS x? nSxSxS1x 2x nx)1(/)()1()( 222??????? ? ??nnnxxnnxxnSSx下一張 主 頁 退 出 上一張 注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計量， (4—25) 式已表明了二者的聯(lián)系。二者的區(qū)別在于： 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差 S 是 反 映 樣 本中各 觀測值 ， ， … ， 變 異 程 度大小的一個指標(biāo)，它的大小說明了 對 該 樣本代表性的強弱。 樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù) 的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計值， 其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。 kxxx , .. ., 211x 2x nxx下一張 主 頁 退 出 上一張 對于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S與樣本平均數(shù) 配合使用 ，記為 177。 S，用以說明所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。 對于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 與樣本平均數(shù) 配合使用， 記為 177。 ， 用 以表示 所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與 抽樣誤差的大小。 x xxSx x xS下一張 主 頁 退 出 上一張 第七節(jié) t 分 布 由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道： 若x～ N(μ, σ2)， 則 ～ N(μ, σ2/n)。 將隨機變量 標(biāo)準(zhǔn)化得： ， 則u～ N(0,1)。 當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ未知時， 以樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S代替 σ所得到的統(tǒng)計量 記為 t。在計算 時，由于采用 S來代替 σ，使得 t 變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從t分布 (t－ distribution)。它的概率分布密度函數(shù)如下： xxSx xxu ?? /)( ??xSx /)( ??下一張 主 頁 退 出 上一張 (426) 式中， t的取值范圍是（ ∞， +∞）； df=n1為自由度。 t分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為： μt＝ 0 (df1)， (df2） (427) t分布密度曲線如 圖 413 所示，其特點是： 212)1()2/( ]2/)1[(1)(???? ???dfdftdfdfdftf?)2/( ?? dfdft?下一張 主 頁 退 出 上一張 t分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條 t分布密度曲線。 t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在 t＝ 0時，分布密度函數(shù)取得最大值。 與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比， t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。 df越小這種趨勢越明顯。 df越大， t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng) n 30時， t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??； n 100時， t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同； n→ ∞時， t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。 下一張 主 頁 退 出 上一張 t分布的概率分布函數(shù)為： (428) 因而 t在區(qū)間（ t1， +∞）取值的概率 ——右尾概率為 1F t (df)。由于 t分布左右對稱， t在區(qū)間（ ∞， t1）取值的概率也為 1F t df)。 于是 t 分布 曲線 下由 ∞到 t 1和由 t 1到+∞ 兩 個 相 等