概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章-資料下載頁(yè)
2025-10-07 12:17本頁(yè)面
【正文】 只有重根 . ) ( ) ( ) , ( Y D X D Y X Cov xy ? ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 其判別式 △ =4[E(WV)]24E(W2) E(V2)≤0 得到 [E(WV)]2≤E(W2) E(V2). →(8) 式得到證明 . 設(shè) W=XE(X),V=YE(Y),那么 .1)()()()]([)]([2)()]([)()19(78)]([)()()()]}()][({[),()5(90)]([)],([)9(,1)()()]([)()()],([222222222222222???????????????????????xyxyVEYDXDxExEXEXEXEWEpXEXEXDWVEYEYXEXEYXC ovpWVEYXC ovVEWEWVEYDXDYXC ov??同理公式見公式見? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 由 (9)式知 , |ρ xy|=1 等價(jià)于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tWV)2] =t2E(W2)2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[XE(X)]=E(x)E(X) =0, E[YE(Y)]=E(Y)E(Y) = E(tWV)=tE(W)E(V)=tE[XE(X)]E[YE(Y)]=0 所以 D(tWV)=E{[tWVE(tWV)]2}=E[(tWV)2]=0 (11) 由于數(shù)學(xué)期望為 0,方差也為 0,即 (11)式成立的充分必要條件是 P{tWV=0}=1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (3) 即 (11)式成立的充分必要條件是 P{tWV=0}=1 這等價(jià)于 P{Y=aX+b}=1 其中 a=t,b=E(Y)tE(X) W=XE(X),V=YE(Y),tWV=tXtE(X)Y+E(Y)=0 定理證畢 . 定理 1告訴我們 , 當(dāng) X,Y相互獨(dú)立時(shí) ,|ρxy|達(dá)到最小值 0, 當(dāng) ρxy=0時(shí)稱 X和 Y不相關(guān) , 當(dāng) X和 Y線性相關(guān)時(shí) ,| ρxy|達(dá)到最大值 1, 這說明 ρxy在一定程 度上表達(dá)了 X和 Y之間的線性相關(guān)程度 ,稱為相關(guān)系數(shù) . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 2 設(shè) (X,Y)服從二維正態(tài)分布 ,其概率密度為 ]})())((2)([)1(2 1e x p {12 1),( 2222212121212221 ????????????????????????yyxxyxf 求 X與 Y的相關(guān)系數(shù) . 解 :我們已經(jīng)計(jì)算出 (X,Y)的邊緣概率密度 ??????????????????yeyfxexfyyxx,21)(,21)(222221212)(22)(1???????? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 dy dxeeyxdx dyyxfyxYXC ovxyx])()([)1(212)(2122121112222121))((121),())((),(??????????????????????????????????????????????? ?? ?所以 E(X)=μ1,D(X)=σ12,E(Y)=μ2,D(Y)=σ22,而 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 令 1111222 ],[11???????????????xuxyt????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ?? ?? ??????????????????????????????????????????????????????21212121222212222122221221])()([)1(212)(2122121)()(),(222))((21)()(2)1(21))((121),())((),(222222112222121YDXDYXC ovdttedueudtedueudt dueutudy dxeeyxdx dyyxfyxYXC ovxytututuxyx 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 E(X)=μ,方差 D(X)=σ2 。則任給正 數(shù) ε, 有 )15(1)()14(,)(2222???????????????XpXp不等式 (14)和 (15)稱為 切比雪夫不等式 它反映了均值與方差的意義 ,|XE(X)|≥ξ即 X取值不在 E(X)附 近的概率不超過 .當(dāng) D(X)較小時(shí) , D(x)/ξ2就較小 ,X取值集中在 E(X)附近故 E(X)是 X取值的集中點(diǎn) .D(X)反映 X在 E(X)附近取值 的個(gè)數(shù)是多還是少 . 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 證明： X 是離散型隨機(jī)變量 2222222211)(,1,)(1)()()(???????????????????????????????????????????? ???????????????????XpxXppxpxxXpXpkkkkkkxkxxxkkkkk的全體為??證明完畢 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 切比雪夫不等式給出了在隨機(jī)變量 X的分布未知的情況下 ,估計(jì)事件 {|Xμ|ε}的概率的方法 . 例如取 ε=3σ,得所謂“ 3σ規(guī)則” : P{|Xμ|3σ}≥, 即事件 |Xμ|3σ的概率大約為 X是正態(tài)隨機(jī)變量 ,可算得到 P{μ3σXμ+3σ}=Φ(3)Φ(3)=2Φ(3)1=
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