【正文】 N tt P o is s o n TT?例：某大型設(shè)備在任何長(zhǎng)度為的區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) 服從參數(shù)為 的 分布，記設(shè)備無(wú)故障運(yùn)行的時(shí)間為 1 求 的概率分布函數(shù)； 已知設(shè)備無(wú)故障運(yùn)行 個(gè)小時(shí)，求再無(wú)故障運(yùn)行 8 個(gè)小時(shí)的概率。? ? ? ?? ? ? ? / ! , 0 , 1 , 2 ,ktP N t k e t k k? ??? ? ?解： 1? ?00Tt F t??當(dāng) 時(shí) ，? ? ? ? ? ?1TF t P T t P T t? ? ? ? ?? ? ? ?? ?0 1 0 1 tTt F t P N t e ??? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ，? ? ? ? ? ?? ? ? ?8182 1 8 | 1 0 810PTP T T e P TPT ???? ? ? ? ? ??73 ? 正態(tài)分布 定義： 設(shè) X的概率密度為 其中 為常數(shù)，稱(chēng) X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布 (Gauss分布 )， 記為 可以驗(yàn)算： 22()21( ) 2xf x e x??????? ? ? ? ? ? ?，2( , )XN ??( ) 1f x dx???? ??+ ( )f x d x????22 tI e dt?? ???? ?記2212xtte d t????????? ?????? ?令 2212te d t??? ???? ?22()2 2xyI e d x d y???? ??22200rd re dr? ? ?? ?? ?? 2I ??? ( ) 1f x dx???????2,??2,??74 稱(chēng) μ 為位置參數(shù) (決定對(duì)稱(chēng)軸位置 ) σ 為尺度參數(shù) (決定曲線(xiàn)分散性 ) m ax21 ( )12 ( )23 ( ) 0~ ( , )xf x xffl i m f xXN???????? ? ?????關(guān) 于 對(duì) 稱(chēng)0??fx? 1? x5??5?????????fxx??075 X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱(chēng)的特性。 當(dāng)固定 μ 時(shí)， σ 越大，曲線(xiàn)的峰越低，落在 μ 附近的概率越小，取值就越分散， ∴ σ 是反映 X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。 76 2 ~ ( , ) XN ??當(dāng) 時(shí) ~ ( 0 1 ) Z N Z記 ， ， 稱(chēng) 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布( ) ( ) ( )baP a X b ????????? ? ? ? ( )P a X b?? x t??? ?作變換：? ?221 2xZ x e????的概率密度：221 ( )2txZ x e d t?????? ?的分布函數(shù)：? ? ? ? 1xx??? ? ?22()212xbae d x??????? ?()P a X b? ? ? 2212b ta e d t???? ?? ??? ?()yx??()x?()x? ?0yxxx?77 例： 2~ ( , )XN ?? ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 0 . 6 8 2 6P X P X? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 2 ) 2 (2 ) 1 0 . 9 5 4 4PX ? ? ?? ? ? ? ? ( 3 ) 2 ( 3 ) 1 0 . 9 9 7 4PX ? ? ?? ? ? ? ?查書(shū)后附表 %3??? 2??? ???%2??? 3??????%78 例：一批鋼材 (線(xiàn)材 )長(zhǎng)度 (1)若 μ =100， σ =2，求這批鋼材長(zhǎng)度小于 的概率； (2)若 μ =100，要使這批鋼材的長(zhǎng)度至少 有 90%落在區(qū)間 (97,103)內(nèi)，問(wèn) σ 至多取何值？ 2( ) ~ ( , )X c m N ?? ( 9 7 .8 )PX ?解 ：(1) 9 7 . 8 1 0 0()2??? 1 (1 .1)???1 0 . 8 6 4 3 0 . 1 3 5 7??查附表===? ? 9 7 1 0 3 9 0 %PX ? ? ?(2) 令：1 0 3 1 0 0 9 7 1 0 0 3 ( ) ( ) 2 ( ) 1 9 0 %? ? ?? ? ??? ? ? ? ?即3( ) 0 .9 5????3 ???1 .8 2 3 7? ??79 例：設(shè)某地區(qū)男子身高 (1) 從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測(cè)身高，求他的身高大于 175cm的概率； (2) 若從中隨機(jī)找 5個(gè)男子測(cè)身高 ,問(wèn)至 少有一人身高大于 175cm的概率是多少？恰有一人身 高 大于 175cm的概率為多少？ 2( ) ( 1 6 9 .7 , 4 .1 )X c m N? ( 1 7 5 )PX ?解 ： ( 1 ) 5 1 7 5 ( 5 , ) , 0 . 0 9 8 5c m b pp??(2) 設(shè) 人 中 有 Y 人 身 高 大 于 ， 則 Y其 中1 7 5 1 6 9 .71 ( )4 .1???? 1 (1 .2 9 3 )???1 0 . 9 0 1 5 0 . 0 9 8 5? ? ? ?查表5( 1 ) 1 ( 0) 1 ( 1 ) 0. 40 45P Y P Y p? ? ? ? ? ? ? ?1 1 45( 1 ) ( 1 ) 0 . 3 2 5 3P Y C p p? ? ? ?80 167。 5 隨機(jī)變量的函數(shù)分布 問(wèn)題：已知隨機(jī)變量 X的概率分布， 且已知 Y=g(X)，求 Y的概率分布。 2( , )XN ?? ，( 0)PY ?X pi 1 0 1 ( 0 ) 0 . 5PX? ? ?( 1)PY ? ? ?( 1 ) ( 1 )P X X? ? ? ?( 1 ) ( 1 ) 0 . 5P X P X? ? ? ? ? ?例如，若要測(cè)量一個(gè)圓的面積，總是測(cè)量其半徑，半徑的 測(cè)量值可看作隨機(jī)變量 X，若 則 Y服從什么分布？ 例：已知 X具有概率分布 且設(shè) Y=X2，求 Y的概率分布。 解： Y的所有可能取值為 0,1 即找出 (Y=0)的等價(jià)事件 (X=0)； (Y=1)的等價(jià)事件 (X=1)或 (X=1) 81 例：設(shè)隨機(jī)變量 X具有概率密度 求 Y=X2的概率密度。 , 0 4() 80 , Xxxfx? ??????? 其他? ? ? ? ? ?2()YF y P Y y P X y P y X y? ? ? ? ? ? ? ? 0 ( ) 0 。Yy F y??當(dāng) 時(shí)， 16 ( ) 1Yy F y??當(dāng) 時(shí)， 0 1 6 y??當(dāng) 時(shí),11, 0 1 68 1 62 0 , yyy?? ? ? ??? ??? 其他()( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) 39。( )xauxadf x f t d t f xdxd f t d t f u x u xdx????連續(xù)時(shí)，( ) ( )XYF x F y，解： 分別記 X,Y的分布函數(shù)為 ? ?( ) 0YF y P X y? ? ?()XFy? ()y Xf t d t??? ?1( ), 0 62() 0 , XYf y yyfy? ???????? 其他 Y在區(qū)間 (0,16)上均勻分布。 82 一般，若已知 X的概率分布， Y=g(X)，求 Y的 概率分布的過(guò)程為： ? ?12 , , , ,( ) , ( ) ( ) 。jjiYYy y y Y yX D P Y y P X D?? ? ? ?1. 若 為離散量，則先寫(xiě)出 的可能取值：再找出 的等價(jià) 事件 得? ?2 . ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )YYYYYF y P Y y Y y X DF y P X D Y f y? ? ? ???若 為連續(xù)量，則先寫(xiě)出 的概率分布函數(shù)：，找出 的等價(jià)事件得 ；再求出 的概率密度函數(shù) ；關(guān)鍵是找出等價(jià)事件。 83 例：設(shè) Y=2X,Z=X2,求 Y,Z的概率分布。 13X 1 1 0 p 131323Z 0 1 p 1313Y 2 2 0 p 1313 解： Y的可能取值為 2,0,2 Z的可能取值為 0,1 (Y=2)的等價(jià)事件為 (X=1)? (Z=1)的等價(jià)事件為 (X=1)∪(X= 1) 故得： 84 例： 2( ) ()YX f x x Y XY f y? ? ?設(shè) 的 概 率 密 度 為 ， ， ，求 的 概 率 密 度()YY F y解 ： 設(shè) 的 概 率 分 布 函 數(shù) 為 0 ( )Yy F y?當(dāng) 時(shí)， ()P Y y?? 2()P X y?? ()yy f t d t?? ?00( ) ( )yyf t d t f t d t?????( ) 39。( )YYf y F y??1[ ( ) ( )] , 02 0 , 0f y f y yyy? ? ? ??? ?? ??85 ( ) , 39。( ) 0 ( 39。( ) 0 )( ) XX f x x g x g xY g X Y? ? ? ? ? ? ? ??定 理 ： 設(shè) ， 或 。， 則 具 有 概 率 密 度 為 ：( ( ) ) 39。( ) , () 0 , XYf h y h y yfy ??? ? ? ?????? 其他m i n ( ( ) , ( ) ) m a x ( ( ) , ( ) )( ) ( )g g g gh y x y g x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?其 中 ， ，39。( ) 0 ,gx ?證 明 ： 不 妨 設(shè)39。( ) 0hy ?且：( ) ( ( ) ) 39。( ) ( ( ) ) 39。( )Y X Xf y f h y h y f h y h y? ? ? ?39。( ) 0 gx ?同理可證：當(dāng) 時(shí)，定理為真x h(y),y y 0 y=g(x) y ? ?gx則 為 單 調(diào) 增 函 數(shù) , ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0Yy F y P Y y P g X y P X?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， ； y ??當(dāng) 時(shí)， ( ) 1YFy ? ； y????當(dāng) 時(shí)， ( ) ( )YF y P Y y?? ( ( ) )P g X y??( ( ) )P X h y?? () ()hy Xf t dt??? ?86 ( ) , { ( ) 0 } ( , ) ,39。( ) 0 ( 39。( ) 0)( ) ( ( ) ) 39。( ) , () 0 , m in( ( ) , ( ) ) m a x( ( ) , ( ) )( ) ( )XXYX f x x f x a ba x b g x g xY g X Yf h y h y yfyg a g b g a g bh y x y g x??????? ? ? ??? ? ? ??? ?????? ? ?推 論 ： 設(shè)當(dāng) 時(shí) 或 。， 則 具 有 概 率 密 度 為 ：其 他其 中 ， ，87 例： 2~ ( , ) ( )YXX N Y Y f y??????設(shè) ， ， 求 的 概 率 密 度() xy g x ?