【正文】 隨機(jī)變量序列的兩種收斂性 167。 要有 90％ 的把握，使 k/n與 p 的差異不大于 ，問至少要調(diào)查多少對(duì)象？ 解： 用 根據(jù)題意 Yn表示 n 個(gè)調(diào)查對(duì)象中收看此節(jié)目的人數(shù)，則 ? ? ? ?2 0 . 9 0/ 0 . 0 5 0 . 0 5 / ( 1 ) 1nP Y n p n p p? ??? ? ? ?0 . 0 5 / ( 1 ) 1 . 6 4 5n p p??從中解得 Yn 服從 b(n, p) 分布， k 為 Yn的實(shí)際取值。 特征函數(shù) 特征函數(shù)是處理概率論問題的有力工具， 其作用在于： ? 可將卷積運(yùn)算化成乘法運(yùn)算； ? 可將求各階矩的積分運(yùn)算化成微分運(yùn)算； ? 可將求隨機(jī)變量序列的極限分布化成一般的函數(shù)極限問題； ? ……… . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 3頁 特征函數(shù)的定義 定義 設(shè) X 是一 隨機(jī)變量，稱 ?(t) = E( eitX ) 為 X 的特征函數(shù) . (必定存在 ) 注意： 1i ?? 是虛數(shù)單位 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 4頁 注 意 點(diǎn) (1) (1) 當(dāng) X為離散隨機(jī)變量時(shí)， (2) 當(dāng) X為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)， 1() kitx kkept? ??? ?( )d() itxe p x xt? ??????這是 p(x) 的傅里葉變換 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 5頁 特征函數(shù)的計(jì)算中用到復(fù)變函數(shù)，為此注意： 注 意 點(diǎn) (2) (1) 歐拉公式 ： co s ( ) s i n ( )itxe t x i t x??(2) 復(fù)數(shù)的共軛 ： a b i a b i? ? ?(3) 復(fù)數(shù)的模 ： 22a b i a b? ? ?第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 6頁 性質(zhì) 特征函數(shù)的性質(zhì) |?(t)| ? ?(0)=1 性質(zhì) ( ) ( )tt???? 性質(zhì) ( ) ( )i b t Xa X b t e a t??? ? 性質(zhì) 若 X 與 Y 獨(dú)立，則 ( ) ( ) ( )X Y X Yt t t? ? ?? ? 性質(zhì) () ()(0)k kki E X? ?第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 7頁 定理 特征函數(shù)的定理 一致連續(xù)性 . 定理 定理 定理 唯一性 . 定理 非負(fù)定性 . 逆轉(zhuǎn)公式 . 連續(xù)場合， 1 ( ) d2() itxe t tpx ?? ???? ??第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 8頁 167。 特征函數(shù) 167。 隨機(jī)變量序列的兩種收斂性 兩種收斂性： i) 依概率收斂： 用于大數(shù)定律； ii) 按分布收斂： 用于中心極限定理 . 第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 第 16頁