【正文】 估 計(jì) 值 是 在 某 個(gè) 范 圍 內(nèi) 或 者 不 低 于 某 個(gè) 數(shù) 。2( 2)1DSn?????2（ ） ESn隨 著 樣 本 容 量 的 增 加 ， 樣 本 方 差 估 計(jì) 總 體 方 差 越 準(zhǔn) 確22pS ????48 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?12221 1 1 1 2 22 2 2 21 2 1 222 2211 11122222222212221212 , , , , , , , , , 1 ~ 1 , 12 ~ ( 0 , 1 ) , nnX X Y Y N NS S X Y S SS SF F n nSSXYNnn? ? ? ?? ???????? ? ? ?? ? ??定 理 ： 設(shè) 樣 本 和 分 別 來 自 總 體 和 并 且 它 們 相 互 獨(dú) 立 ， 其 樣 本 方 差 分 別 為 則 ， 相 互 獨(dú) 立 ，? ? ? ?? ?? ? ? ?122 2 21 2 1 212221 1 2 22212 3 ~ 21111 ,2ww w wXYt n nSnnn S n SS S Snn??? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ?????當(dāng) 時(shí) ，其 中122 2 211121 [ ( ) ( ) ]2nnw i iiiS X X Y Ynn??? ? ? ??? ??注 ：49 F且 兩 者 獨(dú) 立 ， 由 分 布 的 定 義 ， 有 ：? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122212116 . 4 ~ 1 , ~ 1n S n Snn?????? ??證 明 ： 1 由 定 理 知 ，221212( 2 ) 6 . 4 , ~ ( , ) , ~ ( , ) ,X N Y N X Ynn????由 定 理 且 與 相 互 獨(dú) 立 ，22121212~ ( , )X Y N nn????? ? ?所 以 ，? ?? ?? ?? ?? ?21112 2 21 2 1122 2 22 2 1 222211~ 1 , 111nSnSF n nn S Sn??????? ? ???12221212( ) ( ) ~ ( 0 , 1 )XY Nnn????? ? ??即? ? ? ? ? ?1212~ 0 , 111XYUNnn???? ? ???? ? 213 ? ? ?222當(dāng) == 時(shí) ， 由 （ 2 ） 得2, ?且它們相互獨(dú)立 故有 分布的可加性知：? ? ? ? ? ? ? ?221 1 2 222122211 ~ 1 , ~ 1n S n Snn?????? ??又 由 給 定 條 件 知 ：,UV且 與 相 互 獨(dú) 立? ? ? ? ? ?221 1 2 2 212211 ~2n S n SV n n??? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ?12 121212~2112wtXYUt n nV n n Snn??? ? ?? ? ??? ?于 是 按 分 布 知 ： 51 思考： 2 2 22 wSS ?21（ 1 ） 為 什 么 不 用 S 或 ， 而 是 用 來 估 計(jì) 呢 ？? ? ? ?? ? ? ?2 2 21212112122122 ~11~11 XYSnnXYSnn? ? ???????? ? ??? ? ??（ ） 當(dāng) 時(shí) ，1( 1 )tn ?2( 1 )tn ?52 ? ? ? ? ? ?21 4 1 92212221214222 1 2 1 212 , , , , ,( ) 。 的值可查 分布表0 x1 2??fx1220,nn? ??1220, 25nn??1220, 10nn??F分布的密度函數(shù)0 x? ?12,F n n?()fx?F ?分 布 的 上 分 位 數(shù)11 1 2 2 1( , ) [ ( , ) ]F n n F n n?? ?? ?211( ( , ) )P F n nF ?? ??證 ： 2 1 2 111( ) 1 ( )( , ) ( , )P F P FF n n F n n??? ? ? ? ?42 z??? ? ? ?, 0 , 1 , , 0 1X N z P X zz??????? ? ? ? ?此 外 設(shè) 若 滿 足 條 件 則 稱 點(diǎn) 為 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 上 分 位 數(shù) 。 , 0 0,1 n n n nnnnbF n nn n x n n x xBf x n nxabB a b x x dx??????????? ??????? ? ??定 理 ： 分 布 的 概 率 密 度 為 ： 其 中? ?ab?? 11 2 2 1~ ( , ) , ~ ( , )F F n n F F n n?性 質(zhì) ： 則41 ? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2,1 2 1 2, 0 1 , 。 是 取 自 總 體 的 樣 本 求 (1) 統(tǒng) 計(jì) 量 的 分 布 ； （ 2 ） 設(shè) , 若 ( 設(shè) a , b 0 ， 則 各 為 多 少 ？ 1 , 2 , ,ii XY i n?????解 ： (1) 作 變 換 ? ?12, , , 0 ,1 1 , 2 , ,niY Y Y Y N i n??顯然 相互獨(dú)立，且? ?2 2 211()nni iiiX Yn???????? ? ???2于 是 2221212 2()( 2) ~ ( 0 , 2 ) , ~ ( 1 )2XXX X N ?????222345345 2( 2 )2 ~ ( 0 , 6 ) , ~ ( 1 )6X X XX X X N ???????1 2 3 4 52223451222( 2 )() ~ ( 2 )26X X X X XX X XXX ???? ? ????與 2 相 互 獨(dú) 立 ，故 ＋221,21,62.abk?????39 ? ? ? ?? ?20 , 1 , ~ , ,~X N Y n X YXT T t nYnnt???定 義 ： 設(shè) 并 且 相 互 獨(dú) 立 ， 則 稱 隨 機(jī) 變 量 服 從 自 由 度 為 的 分 布 ， 記 為? ?? ? ? ?? ?, 0 1 , ,tnf t n dt t nt n t t??? ? ????? ? ??對(duì) 給 定 的 稱 滿 足 條 件 的 點(diǎn)為 分 布 的 。1( , , )ng X X30 ? 常用統(tǒng)計(jì)量 ：設(shè)（ X1,X2,?,X n）為取自總體 X的樣本 11 1. n iiXXn?? ?樣 本 均 值? ?? ?111 1 , 2 ,1 ( ) 2 ,3 . nkkiinkkiik A X knk B X X kn????? ? ???樣 本 矩 階 矩 ：階 中 心 矩 ：2211 2. (1 ),niiS X X Sn???? ?樣 本 方 差 為 樣 本 標(biāo) 準(zhǔn) 差? ? ? ?11221111, , , ,11 ()111 1 , 2 , ( ) 2 ,nnnniiiinnkkk i k iiiX X x xx x s x xnna x k b x x knn????? ? ??? ? ? ? ?????當(dāng) 獲 得 樣 本 的 觀 察 值 后 ， 上 述 統(tǒng) 計(jì) 量 的 觀 察 值 記 為， ， ， ，31 性質(zhì)： 22( ) , ( )( ) _ _ , ( ) _ _ _ , ( ) _ _ .E X D XE X D X E S????? ? ?（ 3 ） 若 ，則 ? 2n?1( 1 ) ( ) 0niiXX????偏 差 之 和 為 0 ： 212()niiXc????偏 差 平 方 和 ?。?） 最 ：221( ) ( )n iiX X n X c?? ? ??21( ) ,niiX X c?? ? ??2?32 21()niiXc?? ?? 21[ ( ) ( ) ]niiX X X c?? ? ??2211( ) ( ) 2 ( ) ( )nniiiiX X n X c X c X X??? ? ? ? ? ? ???221 1 1( ) ( ) 2 ( ) ( )n n niii i iX X X c X X X c? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?221( ) ( )niiX X n X c?? ? ? ??33 21()niiX ????? 221( ) ( )niiX X n X ??? ? ??c ??取 得 ：2 2 21[ ( 1 ) ] ( ) [ ( ) ]niiE n S E X E n X???? ? ? ? ? ??1niiD X n D X????222( ) ( 1 )n n nn???? ? ? ?22ES ?? ?34 21niiX??? 221()niiX X n X????0c ?取 得 ：2 2 2i1111 ()nniiiX X X Xnn??? ? ? ???222B A X? ??35 2222 ( 1 ) , 0 1 ,()0, , .. .,( ) _ _ _ _ , ( ) _ _ _ _ _ _ _ , ( ) _ _ _ _ .nxxX f xX X X XE X E X E S? ? ??? ??? ? ?1例 2 設(shè) 總 體 的 概 率 密 度 為其 它是 總 體 的 樣 本 ，則101( ) 2 ( 1 ) ,3E X x x d x? ? ??解 ：12201( ) 2 ( 1 ) ,6E X x x d x? ? ??1( ) .18DX ?131118 9n ?118 36 167。 求 的 概 率 密 度 。 求 的 分 布 率 。 ： 每個(gè) Xi與 X同分布 ： X1,X2,?,X n是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 [說明 ]： 后面提到的樣本均指簡單隨機(jī)樣本，由概率論知，若總體 X 具有概率密度 f(x)， 則樣本（ X1,X2,?,X n）具有聯(lián)合密度函數(shù)： ? ? ? ?121, nn n iif x x x f x?? ?26 總體 X的分布函數(shù) ? 從總體中任取一個(gè)個(gè)體是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)觀察值，把它記為 X，它是一個(gè)隨機(jī)變量，所以總體有時(shí)也用對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量 X表示， X分布 F也表示總體分布。 抽樣 ：從總體 X中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的取值過程。 個(gè)體 ：組成總體的每個(gè)元素。 1