中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc(參考版)
2025-07-20 15:27本頁面
【正文】 因此，靈活地掌握林德貝格一勒維中心極限定理、棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理等中心極限定理，并利用它們來解決現(xiàn)實生活中的應(yīng)用問題是很有必要的。從上述三例可看出，在做某些估計的時候，雖然用切比雪夫不等式也是可以適當?shù)毓烙?，但是用中心極限定理來估計時，得到的結(jié)果往往更加的精確，更加地值得人們的信任。即用中心極限定理來估計最少的試驗次數(shù)為1424次。于是：，相應(yīng)的頻率為,問題是要求出適當?shù)膎,使得(1) 用切比雪夫不等式估計最少的試驗次數(shù)：解不等式，得即用切比雪夫不等式來估計最少的試驗次數(shù)為5250次，才能滿足要求。所以我們可知，X服從于二項分布，即有。，問至少要進行多少次試驗?[6]分析：我們不妨先設(shè)n重伯努利試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)為隨機變量X。解：設(shè)選出的種子中的良種粒數(shù)為X，則，于是，要估計的概率為(1) 用切比雪夫不等式估計此概率：=。因為題中良種之間是獨立的，而且是良種的概率都一樣為。但是相比于切比雪夫不等式，我們也可明顯地看出中心極限定理的精確與方便。要想知道具體結(jié)果是什么，還是用中心極限定理來研究比較簡單。我們都知道，切比雪夫有著一個重要的不等式，即，所以有著下面的解法一：：解法一：因為，所以,因此，根據(jù)切比雪夫不等式，有因此由切比雪夫不等式估計出的最后結(jié)果為，區(qū)間長度較短，結(jié)果較好。[5]分析：首先，我們先設(shè)夜晚開著的燈數(shù)為隨機變量X，夜晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率為P。而中心極限定理在生活中的應(yīng)用則是對于相互獨立的隨機變量序列，不管服從什么分布，只要它們是服從同一分布，且有數(shù)學期望和方差，那么，當n充分大時，這些隨機變量之和就近似地服從正態(tài)分布。從上述切比雪夫不等式的定義可知，它和中心極限定理一樣，都可以對所求的問題進行適度地估計，而且切比雪夫不等式和中心極限定理都要用到變量的期望與方差。五、中心極限定理與切比雪夫不等式的聯(lián)系與區(qū)別前面我們已經(jīng)學過了切比雪夫不等式，為了更好地與中心極限定理相比較，我們先來熟悉一下何為切比雪夫不等式。解：設(shè)X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則，(1)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知P(虧本)===所以，幾乎為0。問：(1)保險公司虧本的概率有多大?(2)保險公司一年的利潤不少于1010萬元，200萬元的概率各為多大? [3]分析：首先，我們先設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為隨機變量X，保險公司虧本的概率為P。而很多年長的人，也會選擇去買養(yǎng)老保險。從這一題中，我們可明顯地看出中心極限定理在實際應(yīng)用中起到很重要的作用，尤其是棣莫弗拉普拉斯中心極限定理能很好地處理好二項分布中的近似計算問題。那么現(xiàn)在再讓我們看看中心極限定理，它是可以用來近似二項分布的，只要該二項分布中的n較大，p又不小時，且當p處在和時，就可以用正態(tài)分布來近似。但是，用這種方法做這道題的時候，在求X等于某一個值的時候都比較困難，更何況求上千個呢，所以這種方法理論上可以，但是實際上是行不通的。因為題中占有水龍頭的人和人之間是獨立的。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學排長隊的現(xiàn)象，為此校學生會特向后勤集團提議增設(shè)水龍頭。定理5 （泊松定理）在n重伯努利試驗中，記事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為（與試驗次數(shù)n有關(guān)），如果當時，有，則而在二項分布中，當n較大，p又不小時，且當p處在和時，則用正態(tài)分布近似比較好，這就用到了棣莫弗拉普拉斯中心極限定理。在前面的學習中，我們已經(jīng)知道了“二項分布的泊松近似”，即用泊松分布來作為相應(yīng)的二項分布的近似。應(yīng)用四：與用頻率估計概率有關(guān)的二項分布的近似計算。應(yīng)用二：近似計算服從二項分布的隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率。四、中心極限定理在二項分布中的特殊應(yīng)用由于二項分布在實際問題中有著大量的應(yīng)用，因此在這些中心極限定理中，棣－拉中心極限定理有著更重要的地位，它可以解決的
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