【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ；當(dāng) (1, )x??時(shí)， 39。( ) 0fx? 。因此，由一元函數(shù)極值的第一充分條件可知， 2x 是極小值點(diǎn)， 1 1x?? 和 3 1x? 都是極大值點(diǎn)， （ 5） 計(jì)算極值： 貴州師范學(xué)院畢業(yè)論文 極小值 (0) 0f ? ； 極大值 22 ( 1 ) 1( 1 ) ( 1 )f e e? ? ?? ? ? ?，極大值 22 (1) 1(1) (1)f e e????。 為了方便起見， 整個(gè)解題過(guò)程用表 1 表示。 表 x ( , 1)??? 1? ( 1,0)? 0 (0,1) 1 (1, )?? 39。()fx ? 0 ? 0 ? 0 ? 極大值 極大 值 ()fx 1( 1)fe??? 0 1(1)fe?? 方法 2：利用第二充分條件進(jìn)行判斷。 （ 1） 確定定義域：定義域?yàn)?( , )???? ； （ 2） 求出導(dǎo)數(shù) 39。()fx和 39。39。( )fx： 2 2 22239。( ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 )x x xf x x e x e x x e x? ? ?? ? ? ? ?； 22439。39。( ) ( 2 10 4 ) xf x x x e ?? ? ? （ 3） 確定 ()fx 在定義域內(nèi)的全部駐點(diǎn)： 有方法 1 可知函數(shù)在定義域內(nèi)的駐點(diǎn)為 1 2 31, 0 , 1x x x? ? ? ? （ 4） 考察 39。39。()fx在駐點(diǎn)處的符號(hào)： 因?yàn)?139。39。( 0) 2 0 , 39。39。( 1 ) 4 0f f e?? ? ? ? ? ?，所以由一元函數(shù)極值的第二充分條件可知， 2 0x? 是極小值點(diǎn)， 131, 1xx?? ? 都是極大值點(diǎn)。 （ 5） 計(jì)算極值： 極小值 (0) 0f ? ；極大值 1( 1)fe??? 。 例 2 求 43( ) ( 1)f x x x??的極值。 解：求得 3239。( ) ( 1 ) ( 7 4)f x x x x? ? ?，可以知道 40,1,7x? 是函數(shù)的三個(gè)駐點(diǎn)。 求 ()fx 的二階導(dǎo)數(shù)， 2239。39。( ) 6 ( 1 ) ( 7 8 2)f x x x x x? ? ? ?，直有 39。39。(0) 39。39。(1) 0ff??， 439。39。( ) 07f ? ，由此可知 ()fx 在 47x? 時(shí)取得最小值。由定理 3，求得三階導(dǎo) 數(shù) 3239。39。39。( ) 6 ( 35 60 30 4)f x x x x x? ? ? ?，有 39。39。39。(0) 0, (1) 1ff??，但由于 3n? 是奇 貴州師范學(xué)院畢業(yè)論文 數(shù)，所以 ()fx 在 1x? 處不取得極值。四階導(dǎo)數(shù) ( 4 ) 3 2( ) 24( 35 45 15 1 )f x x x x? ? ? ?， 有 (4)(0) 0f ? ，由于 4n? 為偶數(shù)，所以 ()fx 在 0x? 處取得極大值。 有上面可知： (0) 0f ? 是極大值， 434 4 3 6 9 1 2( ) ( ) ( )7 7 7 8 2 3 5 4 3f ? ? ? ?是極小值。 例 3 某商場(chǎng)以每件 50 元的價(jià)格購(gòu)進(jìn) 一批冬衣 ，如果以 每件 100 元銷售，每 個(gè) 月可以 賣出 300 件 ， 根據(jù)市場(chǎng)銷售變化可知，如果 單價(jià) 上漲 1 元 時(shí) ，該商品每月的銷量就減少 10 件。（ 1）寫出每 個(gè)月賣出衣服 的利潤(rùn) y （元）與 上漲價(jià)格 x （元）件的函數(shù)關(guān)系式 ？ （ 2） 當(dāng)衣服 單價(jià)定為多少元時(shí)，每月 賣出衣服 的利潤(rùn)最大？ 解：（ 1） 210 200 150 00y x x? ? ? ? (元 ) （ 2）設(shè)售價(jià)定為 x 元，則銷售利 210 180 0 650 00y x x? ? ? ? 上式可得 210( 90) 160 00yx? ? ? ? 所以 當(dāng)單價(jià)為 90 元時(shí)，最大利潤(rùn)為 16000 元 。 答：函數(shù)關(guān)系式為 210 200 150 00y x x? ? ? ?，當(dāng)單價(jià)定為 90 元時(shí)得到最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為 16000 元。 例 4 求函數(shù) 2 6 14y x x? ? ?的最小值。 解 ： 欲 求 miny ， 只 需 使 被 開 方 數(shù) 2 6 14xx?? 的 值 最 小 ，2 2 26 14 ( 6 9) 5 ( 3 ) 5x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?，而 2( 3) 5x??為非負(fù)數(shù)，則取最小值的充要條件是 2( 3) 0x??，故當(dāng) 3x?? 時(shí)有 min 5y ? 。 例 5 求函數(shù) 32( ) 6 9 9f x x x x? ? ? ?的極值。 解： ()fx的定義域 ( , )???? 且 239。( ) 3 12 9f x x x? ? ?， ( ) 6 12f x x??； 令 39。( ) 0fx? ，得到駐點(diǎn) 1 1x? ， 2 3x? ； 因 (1) 6 0f ?? ? ， (3) 6 0f ??；故 (1) 5f ?? 是極大值， (3) 9f ?? 是極小值。 由上可以知道，配方法適用于次數(shù)為二次的一元函數(shù)，而定義法和導(dǎo)數(shù) 貴州師范學(xué)院畢業(yè)論文 法更適合于次數(shù)大于二次的一元函數(shù)。 2 二元函 數(shù)極值問題 二元函數(shù)極值的定義 定義 [2]設(shè)函數(shù) ( , )z f x y? 在點(diǎn) 00( , )xy 的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于00( , )xy 的點(diǎn) (, )xy ： （ 1） 若滿足不等式 00( , ) ( , )f x y f x y? ，則稱函數(shù)在 00( , )xy 有極大值； （ 2） 若滿足不等式 00( , ) ( , )f x y f x y? ，則稱函數(shù)在 00( , )xy 有極小值； 極大值、極小值統(tǒng)稱為極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值 點(diǎn) 。 由定義可以看出，函數(shù)的極大 值 ，極 小值 問題是一個(gè) “局部性 ”的 概念 ，也就是說(shuō)， 是 函數(shù)的 極值點(diǎn)與鄰近所有 的 點(diǎn)的函數(shù)值 的 比較，不能說(shuō)明是整個(gè)區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值，極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得，不能在區(qū)間端點(diǎn)處取得。 二元函數(shù)極值 求解的一般方法 二元函數(shù)取得極值的條件 定理 1 [2]（必要條件）設(shè)函數(shù) ( , )z f x y? 在點(diǎn) 00( , )xy 具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) 00( , )xy 處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 39。 00( , ) 0xf x y ? ， 39。 00( , ) 0yf x y ? 。 證明：不妨設(shè) ( , )z f x y? 在點(diǎn) 00( , )xy 處有極大值， 則對(duì)于 00( , )xy 的某領(lǐng)域內(nèi)任意 00( , ) ( , )x y x y? 都有 00( , ) ( , )f x y f x y? ,故當(dāng)0yy? ， 0xx? 時(shí)，有 0 0 0( , ) ( , )f x y f x y? ， 說(shuō)明二元函數(shù) 0( , )f xy 在 0xx? 處有極大值，必有 0( , ) 0xf x y ? 。 類似地可證 0( , ) 0yf x y ? 。 和 一元函數(shù) 的方法類似 ， 只要 能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)， 都 稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。 注：駐點(diǎn)不等于極值點(diǎn) 例如，點(diǎn) (0,0)