淺析函數(shù)極限求法的所有專業(yè)(編輯修改稿)
2025-06-25 22:13 本頁面
【文章內容簡介】 2 12 2 2 4? ? ? ??? ????? ? ? ??? ?????? ???? 例 求極限 12 1lim221 ????? xxxx 8 第 8 頁 共 20 頁 解：12 1lim 2 21 ????? xxxx=)12(lim)1(lim2121 ??????? xxxxx =20 =0 例 求極限 221 1lim 21x xxx? ??? 解： 221 1lim 21x xxx? ???= ? ?? ?? ?? ?111lim 1 2 1xxx??? = ? ?? ?11 2lim 2 1 3xxx?? ?? 例 41 2 3lim 2xxx???? 解： ? ?? ?44241 2 3 2l im l im 42 1 2 3xxxxx x???? ? ??? ?? ? ? = ? ?422lim1 2 3xxx???? = ? ?2 4 2 431 8 3? ??? 利用兩個重要極限公式求極限 兩個重要極限公式 [2] ：（ A） 1sinlim0 ?? xxx (B) ex xx ???? )11(lim 但我們經常 使用的是它們的變形： 1)( )(sinlim)39。( 0)( ?? x xA x ??? exB xx ???? )()( ))(11(lim)39。( ?? ? 例 求極限20 cos1lim x xx ?? 解： 20 cos1lim x xx ??=21)22sin(21lim 20 ?? xxx 例 求極限 xx x10 )21(lim ?? 9 第 9 頁 共 20 頁 解： xx x10 )21(lim ??= 22210 )21(lim ex xx ???? 利用洛必達法則求極限 00型不定式極限 定理：若函數(shù) f 和 g 滿足： （ 1） 0)(lim)(lim00 ?? ?? xgxf xxxx； （ 2）在點 0x 的某空心鄰域 )( 00 xU 內兩者都可導，且 0)(39。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。 )(39。lim0（ A 可為實 數(shù)，也可為 ?? 或 ? ），則 Axg xfxg xf xxxx ?? ?? )(39。 )(39。lim)( )(lim 00 ?? 型不定式極限 定理：若 函數(shù) f 和 g 滿足： （ 1） ????? ?? )(lim)(lim 00 xgxf xxxx； （ 2）在點 0x 的某右空心鄰域 )( 00 xU? 內兩者 都可導，且 0)(39。 ?xg ； （ 3） Axg xfxx ?? )(39。 )(39。lim0（ A 可為實數(shù)，也可為 ?? 或 ? ），則 Axg xfxg xf xxxx ?? ?? ?? )(39。 )(39。lim)( )(lim 00 不定式極限還有 ?????? ? ,0,1,0 00 等類型，經過簡單變換，它們一般均可化為 00 型或 ?? 型的極限 . 例 求極限 xx x??0lim 解： 由對數(shù)恒等式可得 xxx ex ln? xx x??0lim = xxxe lnlim0?? 10 第 10 頁 共 20 頁 01lnlimlnlim 00 ?? ?? ??xxxxxx 1lim 00 ??? ?? ex xx 例 求極限02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx???? 解：02 c o s 4 s in 2lim 2 s inxxx???? =02 si n 4 co slim 2 co sxxxx???? =4 利用函數(shù)連續(xù)性求極限 （ 1）若 )(xf 在 0xx? 處連續(xù)，則 )()(lim00 xfxfxx ?? （ 2）若 )]([ xf ? 是復合函數(shù)，又 axxx ?? )(lim0?且 )(uf 在 au? 處連續(xù)，則)()](l i m[)]([l i m 00 afxfxf xxxx ?? ?? ?? 這種方法適用于求復合函數(shù)的極限 .如果 )(xgu? 在點 0x 連續(xù) 00)( uxg ? ，而)( ufy ? 在點 0u 連續(xù)，那么復合函數(shù) )]([ xgfy? 在點 0x 連續(xù) . 即)]([)](l i m[)]([l i m 000 xgfxgfxgf xxxx ?? ?? . 例 求極限 xx x)11ln(lim ??? 解： 令 uy ln? ， xxu )11( ?? 因為 uln 在點 exu xx ??? ?? )11(lim0 處連續(xù) 所以 xx x)11ln(lim ??? = ])11(limln[ xx x??? = 1ln ?e 通過等式變形化為已知極限 要點：當極限不宜直接求出時，可考慮將求極限的變量作適當?shù)牡仁阶冃?，得到已知極限的新變量 . 11 第 11 頁 共 20 頁 例 求極限 1lim ? ????? xxxxx 解： 1lim ? ????? xxxxx=xxxxx 11111lim73??????=0 利用換元法求極限 當一個函數(shù)的解析式比較復雜或不便于觀察時，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求 . 例 求極限 xxxxx ln1lim1?? 解： 令 1?? xxt ，則 )1ln(ln ?? txx xxxxx ln1lim1 ?? = 111lim)1ln (lim 00 ???? ?? t ttttt 利用自然對數(shù)法求極限 自然對數(shù)法：把形如 )()( xgxf 通過恒等變形寫成 )(ln)( xfxg 的形式 ,改為求 00 或 ?? 不定式的極限 . 例 求極限 xx xx cos1 10 )sin(lim ?? 解： 用自然對數(shù)法，令 y= xxx cos1 1)sin( ? 取自然對數(shù)得 x xxy s inlnc os1 1ln ?? 12 第 12 頁 共 20 頁 2s i nlnl i ms i nlnc os1 1l i m 200 x xxxxx xx ?? ??? = x x xxxxxx20s inc o ss inlim??? =3020 s i nc osl i ms i n s i nc osl i m x xxxxx xxx xx ??? ?? =313sinlim 20 ???? x xxx 31c os1 10 )s in(lim ??? ?? ex x xx 利用因式分解法求極限 要點：如果可以通過因式分解將變量化簡或轉化為已知的極限，即可利用此方法求變量極限 . 例 就極限2s in3s in 1s in3s in4lim 222 ????? xxxxx ? 解 ： 222224 si n 3 si n 1li msi n 3 si n 2( 4 si n 1 ) ( si n 1 )li m( si n 2) ( si n 1 )4 si n 1li m 5si n 2xxxxxxxxxxxxx???????????????
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