數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-求方程的近似解方法及比較分析(編輯修改稿)
2024-10-08 11:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 化為求解 Mx=Nx+b,由此可構(gòu)造一個迭代法： x(0)(初始向量 ) ， x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) 其中， f=b/M,B=IA/M 為迭代法的迭代矩陣。 選取 M為 A 的對角元素組成的矩陣，即選取 M=D，可得到解 Ax=b 的雅克比迭代法： x(0)(初始向量 ),x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2… ) BJ為求解 Ax=b 的雅克比迭代法的迭代矩陣。 解雅克比迭代法的計算公式為： ????? ??? ? ??????? )(1), . . . . . . . ,(1)(11)()1()0()0(2)0(1)0(nijkjijijkjijiiikiTnxaxabaxxxxX （ k=0,1,2， …… :i=1,2,3,…… ..n） 雅克比方法是求對稱矩陣的全部特征值以及相應(yīng)的特征向量的一種方法，它是基于以下兩個結(jié)論： 1)任何實對稱矩陣 A 可以通過正交相似變換成對角型，即存在正交矩陣 Q，使得 AQ=diag( ) 其中 i（ i=1,2,… ,n）是 A的特征值， Q中各列為相應(yīng)的特征向量。 2）在正交相似變換下，矩陣元素的平方和不變。即設(shè) ， Q 為 交 7 矩陣，記 B= AQ= ,則 雅克比方法的基本思想： 是通過一次正交變換，將 A中的一對非 0的非對角 線 化成 0，并且使得非對角元素的平方和減小。反復(fù)進行上述過程，使變換后的矩陣的非對角元素的平方和趨于 0，從而使該矩陣近似為對角矩陣，得到全部特征值和特征向量。 直接三角分解法 矩陣直接三角分解法： 是高斯消去法的變形方 法。高斯消去法有多種變形，有的是高斯消去法的改進，有的是用于某種特殊系數(shù)矩陣的化簡。高斯消去法解線性方程組先消元，然后再回代。當用矩陣描述時，是對系數(shù)矩陣分解為一個上三角陣和一個下三角陣的乘積，即 LU分解。因此，高斯消去法與矩陣的 LU分解是一致的。 將高斯消去法改寫為緊湊形式，可以直接從矩陣 A 的元素得到計算 L， U 元素的遞推公式，而不需要任何中間步驟，這就是所謂的直接三角分解法，一旦實現(xiàn)了矩陣 A的 LU分解，那么求解 Ax=b 的問題就等價于求解兩個三角形方程組： 的問題，而這兩個線性代 數(shù)方程組只要回代，就可以求出其解。 設(shè) A為非奇異矩陣，且有分解式 A=LU，其中 L為單位下三角矩陣， U 為單位上三角矩陣， A= 第一步，用 L的第一行分別乘以 U 的第 j(j=1,2,… ,n)列，比較兩邊可得 (j=1,2,… ,n) 分別用 L 的第 i(i=1,2,… ,n)行乘 U 的第一列，比較可得 (i=1,2,… ,n) 即得 (i=1,2,… ,n) 這樣就求出了 L的第一 列和 U的第一行的所有元素。 依次進行下去，一直到第 k1 步，即已求出 L的前 k1 列和 U的前 k1行的所有元素。 第 k步，用 L的第 k 行分別乘 U的第 j(j=k,k+1,… ,n)列，比較兩邊可得：= +… + + (j=k,k+1,… ,n) 8 分別用 L的第 i(i=k+1,… ,n)行乘 U的第 k 列，比較兩邊可得： = +… + + (i=k+1,… ,n) 總結(jié)上述討論，得到用直接三角分解法求解 Ax=b 的計算公式： (j=1,2,… ,n), (i=2,3,… ,n) (j=k,k+1,… ,n) (i=k+1,k+2,… ,n) 及求解 Ly=b,Ux=y 的計算公式： (k=2,3,… ,n) ， (k=n1,n2,… ,2,1) 高斯列主元消去法 高斯順序消去法的基本思想是： 對線性代數(shù)方程組所對應(yīng)的增廣矩陣（ A|b）進行一系列“把某一行的非零常數(shù)倍加到另一行上”的初等變換，使得（ A|b）中 A 的對角線一下的元素全變?yōu)?0，從而使原方程組等價的轉(zhuǎn)化為容易
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