數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文-求方程的近似解方法及比較分析-預覽頁
【正文】 算與程序的實現(xiàn)，再結(jié)合三種 方法的優(yōu)缺點進行了比較。 本文主要是分析高斯列主元消去法、矩陣的 LU 分解法和簡單迭代法理論上的異同，并用 C 語言程序通過具體實例進行了分析比較。 對于線性方程組 Ax=b 其中， A為 非奇異矩陣。 解雅克比迭代法的計算公式為： ????? ??? ? ??????? )(1), . . . . . . . ,(1)(11)()1()0()0(2)0(1)0(nijkjijijkjijiiikiTnxaxabaxxxxX （ k=0,1,2， …… :i=1,2,3,…… ..n） 雅克比方法是求對稱矩陣的全部特征值以及相應的特征向量的一種方法，它是基于以下兩個結(jié)論： 1)任何實對稱矩陣 A 可以通過正交相似變換成對角型，即存在正交矩陣 Q，使得 AQ=diag( ) 其中 i（ i=1,2,… ,n）是 A的特征值， Q中各列為相應的特征向量。 直接三角分解法 矩陣直接三角分解法： 是高斯消去法的變形方 法。因此，高斯消去法與矩陣的 LU分解是一致的。 第 k步，用 L的第 k 行分別乘 U的第 j(j=k,k+1,… ,n)列，比較兩邊可得：= +… + + (j=k,k+1,… ,n) 8 分別用 L的第 i(i=k+1,… ,n)行乘 U的第 k 列，比較兩邊可得： = +… + + (i=k+1,… ,n) 總結(jié)上述討論，得到用直接三角分解法求解 Ax=b 的計算公式： (j=1,2,… ,n), (i=2,3,… ,n) (j=k,k+1,… ,n) (i=k+1,k+2,… ,n) 及求解 Ly=b,Ux=y 的計算公式： (k=2,3,… ,n) ， (k=n1,n2,… ,2,1) 高斯列主元消去法 高斯順序消去法的基本思想是： 對線性代數(shù)方程組所對應的增廣矩陣（ A|b）進行一系列“把某一行的非零常數(shù)倍加到另一行上”的初等變換，使得（ A|b）中 A 的對角線一下的元素全變?yōu)?0，從而使原方程組等價的轉(zhuǎn)化為容易求解的上三角形線性代數(shù)方程組，再通過回代得到上三角形線性代數(shù)方程組的解，即可求得原方程組的解。 10 第三章 三種方法求解方程組實例 線性代數(shù)方程組的應用十 分廣泛，在實際生活中遇到的一些問題通常可以用求解方程組的方法來解決。 反復利用這個計算程序，得到一個向量序列和一般的計算公式： =B +f 其中 k表示迭代次數(shù)（ k=1,2,… ）。使用迭代法的關鍵問題是其收斂性與收斂速度，收斂性與迭代初值的選取無關。 矩陣的三角分解法 是高斯消去法緊湊格式的矩陣表示，它在解方程組的直接法中起著重要的作用。從編程繁簡程度來說， LU 分解法來得簡單。 14 … 參 考 文 獻 [1] 清華大學出版社《數(shù)值分析》第五版 [2] 趙云，線性方程組通解的一種求法 [J]，甘肅聯(lián)合大學學報， 2020：18（ 4） [3] 方文波，線性方程組的矩陣求解算法 [J]，大學數(shù)學， 2020： 20（ 5） [4] 范愛華、汪忠志，關于線性方程組理論的若干注記 [J]，唐山師范學院學報， 2020： 26（ 26） [5] 鄭亞敏，迭代法解線性方程組的收斂性比較 [J]，江西科學， 2020：27（ 5） [6] 吳新元，改進的割線法及其范圍收斂性 [J]，南京大學學報， 1994：30（ 4） [7] 魏煥彩、鄭修才 .，解 線性 代數(shù) 方程組 的一種 行 處理方法 [J]，北京聯(lián)合大學學報， 1999： 13（ 4） , 15 致 謝 本文是在 劉楠楠 老師的悉心指導下完成的。 本文的完成還得到了數(shù)學科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)不少同學的幫助，謹以此文表
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