數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于和與積相等的矩陣對-預(yù)覽頁
【正文】 ?2Htr aUU ? 2ra . 從而 ? ?? ? 22tr ABtr AB????r? 必要性：記 ABC? ，則22][)( trCtrCCrank ? 且 nnHC ?? ， C 為非零矩陣 . ?C 為 Hermite 陣， ?存在酉陣 rnMU ,? 使得 UUC H?? ， 其中 ,酉陣 U 由矩陣 C 的特征向量正交化，單位化得到 ,即 ? ?ruuuU , 21 ?? ，且EUUH? ，1200r???????????????， i? （ ri ,2,1 ?? ）為 C 的非零特征值 . 所以 9 ,)()(,122221???????????????????riiHHHriiHHtrUUtrUUUUtrt r CtrUtrUUt r Ut r C?? 又知22)(trCtrCr? ，所以 )()( 22221221 rr r ?????? ??????? ?? ， 將上式展開后重新合并可得 ： 23221231221 )()()()( ???????? ???????? r? 0)()( 2122 ??????? ? rrr ???? ?? 易得 r??? ??? ?21 . 記 i??? ， ri ,2,1 ?? ，則 HHC U U U U?? ????????????， R?? . 結(jié)論 3 矩陣 A ， B ， C ， D 均為 nn? 陣， A ? B ? AB ，且 A ? 0 ， 則 AC AD BCBD??. 證明 因為10nnE ACBA E BD?????????? ?????10ACBA C D??? 所以 10nnEBA E??ACBD?10ACBA C D??? ? A 1BA C D??? ? 1AD ABA C?? 又知 A ? B ? AB ，所以 AB ? BA . 10 即有 10nnEBA E??ACBD? 1AD BAA C?? ? AD BC? 故 AC AD BCBD??. 結(jié)論 4 設(shè) nMBA ?, 分別有特征值 n?? ,1? 和 n?? ,1? 且 ABBA ?? ，則存在指標(biāo) n,1? 的 一 個 排 列 nii ,1? ，使得 BA? 的特征值是ninii ?????? ??? , 21 21 ?. 證明 因為 ABBA ?? ，所以 BAAB? .根據(jù)引理 9 可得，它們可以同時上三角化，即存在酉矩陣 nMU? ，使得 TAUUH ? 和 RBUUH ? 都是上三角矩陣，且分別具有對角元 n?? ,1? 及nii ?? ,1 ?， 又 RTUBAU H ??? )( 有對角元 ninii ?????? ??? , 21 21 ? 且以它們?yōu)樘卣髦?，同時，由于 BA? 相似于 RT? ，所以它們必定也是 BA? 的特征值 . 由結(jié)論 4 可得推論 和推論 . 推論 nMBA ?, 且 ABBA ?? ，則 BA? 的各特征值之和是 A 的各特征值和加上 B 的各特征值的和 . 證明 由結(jié)論 4 得， BA? 的特征值為ninii ?????? ??? , 21 21 ?， 故 BA? 的特征 值之和為 ninii ?????? ?????? ?21 21 又知 A 的特征值之和為 n??? ??? ?21 11 B 的特征值之和為 n??? ?? ?21 niii ??? ??? ?21 顯然推論 成立 . 推論 的另一種表述 若 nMBA ?, 且 ABBA ?? ，則 )()()( BtrAtrBAtr ??? . 推論 若 nMBA ?, 且 ABBA ?? ， n?? ,1? 和 n?? ,1? 分別為 BA, 的特征值， ji ?? ?? ， nji ,2,1, ?? ，則 BA? 是非奇異矩陣 . 證明 由結(jié)論 4 知 BA? 的特征值是 ninii ?????? ??? , 21 21 ? 其中，nii ?? ,1 ?為 n?? ,1? 的一個重新組合 . 又知 ji ?? ?? ， nji ,2,1, ?? ，所以 0?? ji ?? ， nji ,2,1, ?? ， 即 ninii ?????? ??? , 21 21 ?均不為零 , 所以 BA? 有 n 個非零特征值，故 BA? 非奇異 . 結(jié)論 5 nMBA ?, ，且滿足 ABBA ?? ，如果對角陣 A 的主對角線上的元素互不相 等，那么 B 也是對角陣 . 證明 設(shè)???????????naaA ?1 ，其中ji aa? （ ji? ）， nnijbB ?? )( ，（ nji ,2,1, ?? ），因為 ABBA ?? ，故 BAAB? ， 可得 ijjiijiji baabba ????? ， 整理得 0)( ?? ijji baa ， 又因為 ji? 時， ji aa? ，故 ji? 時， 0?ijb . 12 參考文獻(xiàn) [1] 楊興東 . 矩陣之和的特征值與奇異值估計 [J].數(shù)學(xué)雜志 ,20xx,24(3): 263 266. [2] 席博彥 ,張曉明 . 關(guān)于矩陣和與矩陣積的特征值的關(guān)系 [J]. 數(shù)學(xué)研究論 ,20xx,24(4): 689 696. [3] 伍俊良 ,劉飛 . 實對稱矩陣和與差的一些特征值與 F2范數(shù)不等式 [J]. 高等學(xué)校計算數(shù)學(xué)學(xué)報 ,20xx,26(4): 365 370. [4] Sha Huyun. Estimation of the Eigenvalues of A B for A 0 ,B 0[J]. Linear Algebra Appl, 1986,73:147 150. [5] 黎羅羅 . 可交換厄米特矩陣乘積的特征值 [J].中山大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ),1999,38 (2): 6 9. [6] 黃涵 ,周士藩 . 對稱矩陣和的秩與慣性指數(shù) [J ].寧夏大學(xué)學(xué)報 (自然科版 ),1991,12 (4): 1 5. [7] 詹仕林 . 矩陣乘積的正定性 [J ].安徽大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ),20xx,27(2): 10 12. [8] 史榮昌 ,魏豐 . 矩陣分析 [M].第二版 .北京：北京理工大學(xué)出版社 ,20xx. [9] 王松桂，吳密霞，賈忠貞 . 矩陣不等式 [M].第二版 .北京：科學(xué)出版社 ,20xx. [10] 楊奇 . 矩陣分析 [M].北京：機械工業(yè)出版社 ,20xx. 。 Trace。 R
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