【正文】 50 年 ， 加布里爾 矩陣的當代概念體系在 19 世紀慢慢完成。在 1858 年，凱萊（ Cayley）在他所寫的《矩陣論的研究報告》里面有體系地說明了矩陣的一些基本理論。德國數學家弗洛伯紐斯（ Frobenius）最先提出了最小多項式的 概念，矩陣中秩的概念介紹、不變的因素和主要因素、正交矩陣的相似變換，矩陣的其他概念，如合同、不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等。到了這個時候，矩陣體系業(yè)已很完善了。最后本文將會介紹矩陣指數函數在 微分方 程中的應用。 矩陣的化零多項式與它的最小多項式 定義 給定矩陣 , 如果多項式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?滿足( ) 0pA? ，則稱 ()p? 是 A 的化零多項式。 一個函數在給定矩陣的譜上可以沒有定義 。 定義 ：設 nnAC?? ，矩陣級數形如 20 1 20kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ??， 可以被稱為矩陣冪級數。 正定矩陣 在線性代數的領域中，一個正定矩陣 (positive definite matrix)偶爾會被簡稱作正定陣。廣義的定義：設一個 n階方陣 M ，如果對任何 z (z 是非零向量 )，如果都存在 39。 aE B? 在 a 足夠大的時候， aE B? 就可以被稱作一個正定矩陣（在這里 B 必須是一個對稱矩陣）。z 。 Jordan 矩陣 形如下列的由主對角線為特征值，次對角線為 1 的 Jordan 塊按對角排列組成的 矩陣 稱為 Jordan 形矩陣 ,而主對角線上的小塊方陣 iJ 稱為 Jordan 塊 . 1200 sJJJJ?????????， 1010iiiiii nnJ??? ??????????。 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 3 矩陣指數 矩陣指數函數的性質 在 計算常系數線性微分方程的時候時，主要考慮的是齊次線性微分方 程組39。x Ax? 聯系起來，并證明矩陣 () Atte??就是齊次線性微分方程組 39。x Ax? （ ） 這里 A 是 nn? 常數矩陣。特別的，在這里，我們可以設定 0AE? ， 0! 1? 。 ( ) 39。 進一步指出，級數 0 !kkAtkAte k???? （ ） 在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 矩陣指數 Ae 的性質 A 和 B 是可交換的，即 BA AB? ，則 ()A B A Be e e? ? （ ） 事實上，由于矩陣級數（ ）是絕對收斂的 ，因而關于絕對收斂數值級數運算的一些定理，其中包含級數的收斂性不受項的重新排列影響和級數的和以及乘法運算的性質等都能夠運用到這里來，由二項式定理以及 BA AB? 可得到 ()0 0 0()! ! ( ) !k l k lABK k lA B A Be k l k l?? ? ??? ? ?????? ?????? ? ? （ ） 另一方面，由絕對收斂級數的乘法定理得 0 0 0 0! ! ! ( ) !i j l k lABi j k lA B A Bee i j l k l?? ? ? ?? ? ? ????? ?????? ? ? ? （ ） 比較（ ）以及（ ），推得（ ） . A ，存在 1()Ae ? ，且 1( ) ( )AAee??? 實際上， A 和 A? 是可交換的，所以在（ ）中，令 BA?? ，本文推得 ( ( )) 0A A A Ae e e e E? ? ?? ? ?， 因此，可以推得 1( ) ( )AAee??? . 如果 T 是非奇異矩陣，則 1 1()T AT Ae T e T? ?? . () 事實上 ? ?1 1()111111!!!()kT ATkkkkkAT ATeEkT A TEkAE T TkT e T??????????????????? ???????? 這就是本文所需要證明的。且 (0) E??. 證明 有定義易知 (0) E??.（ ）對 t 求導，我們得到 2 3 2 139。 因 此 (1)? 是（ ）的基解矩陣。 矩陣指數函數的性質 在上 一章矩陣指數中我們從求解常系數線性微分方程組的過程中認識到了矩陣指數的概念，并且了解到了（ ）就是就是常系數微分方程組的基解矩陣。 定理 設 nnAC?? ，在這里矩陣 A 的譜 ()fx半徑為 ? ，如果函數 ()fx的冪級數的表示式是 0()kkkf x c x x ??????， 則當 ???? 時 0()kkkf A c A???? 根據定理 可以推出很多關于矩陣函數的冪級數表示式，列舉其中 3 個 2112 ! !Ane E A A An? ? ? ? ???? ? ???； 3 5 2 11 1 1sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nnA A A A An ?? ? ? ??? ? ? ? ????。 （ 7）設定 B 是 Hermite 正定矩陣，那么有唯一 Hermite 矩陣 Q ，使 QBe? 。 接下來研究的問題 是：如果一個非正規(guī)的 矩陣 A 符合式 ()的條件，那么這個天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 矩陣 A 擁有什么樣的結構呢 ?為了研究此問題，需要提前證明一個引理 引理 1 設 nnAC?? ， ()fz為一個復值函數，定義域 fDC? ．矩陣方程 ()f X A?能夠求解的充分必要的條件為：對任何 ()aA?? ，總存在 fzD? ，使得 ()f z a? 。 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 4 矩陣指數函數的計算方法 矩陣指數函數的一般計算方法 矩陣指數函數的計算，即 Ate 的計算有很多種計算方法。 當 dD dt? 時，矩陣指數函數 Ate 的每個元素都滿足 n 階線性微分方程 ( ) 0c Dy? ， 并且 () Atte??是 n 階矩陣線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( 0) ( 0) 0n ?? ? ? ? ??? ? ? ? ．所以， 內所有元素全部符合以下常系數 n 階線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( ) , ... , ( ) , ( )A t A t n n A t n n A tt E e t A e t A e t A e??? ? ? ? ? ? ? ?， ( 1 )1 1 0110( ) ( ) 39。 由初始條件 ( 1 ) 1( 0) , 39。 同時 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 21 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 微分方程系數求解法 這一節(jié)闡述的是計算矩陣指數函數 Ate 的第二種方法，和上節(jié)的方法部分相似，使用了微分方程，不過此方法開始求得 Ate 的一個表達式，接著經過求解一些常系數的微分方程來計算 Ate 表達式的系數，最后算出 Ate ． 定理 設 n 階方陣 A 的特征多項式是 11 1 0( ) d e t ( ) nnnc E A c c c? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?， 則 112( ) ( ) ( )A t nne x t E x t A x t A ?? ? ? ????， 其中 ( ),1kx t k n??，是 n 階常系數線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( 0 ) 1( 0 ) 1( 0 ) 0 ( 0 ) 0nnnnnnxxxxxxx ?????? ?????? ?? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?????? ?。1 1 0( ) ( 1 )1 1 1 1 1 0 1( ) ( 1 )2 1 2 1 2 0 2( ) ( 1 ) 11 1 01( ) ( ) ( ) ( )( 39。1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0nnnt c t c t c t??? ? ? ? ???? ? ? ? ? 并且 112112( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 112( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )nnnnn n n n n nnx E x A x A Ex E x A x A Ax E x A x A A??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 所以 112( ) ( ) ( ) ( ) nnt x t E x t A x t A ?? ? ? ? ???? 是 ( ) ( 1 )1 1 0( ) 0nnnc t c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ( 1 ) 1( 0) , 39。 39。(0 ) 0x x x? ? ?時， 21( ) 2 ttx t te e?? ?。(0 ) 0x x x? ? ?時， 22 ( ) 3 2 2t t tx t te e e? ? ? 當 (0 ) 0 , 39。 同時 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 所以 2 2 2 2( 2 ) ( 3 2 2 ) ( )A t t t t t t t t te te e E te e e A te e e A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? Jordon 塊求解法 在這一節(jié)中闡述的計算比之前的計算方法計算較為麻煩 ,原理和過程同樣不一樣，這個計算方法用到了矩陣函數的 Jordon 表示式的知識，此方法利用 Ate 的Jordon 表示式的計算間接的求得 Ate ． 已知 nnAC?? 和變量 ? 的多項式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ?， 則稱 11 1 0() mmmmp A A A A E? ? ? ???? ? ? ???? ? 天津科技大學 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 是 A 的矩陣多項式． ()pA和 A 同為 n 階方陣 若 iJ 為 id 階 Jordon 塊矩陣 111iiiiii ddJ??? ?????????? 則 111111iiiid k dkki k i k ikki k ikiki ddCCCJ? ? ????? ? ????????????? 關于 id 階矩陣 ()iJ? 的矩陣多項式 1110() mmi m i m i i ip J J J J E? ? ? ???? ? ? ???? ? 由 (1)式可引入多項式 ()p? 的各階導數，然后 ()ipJ 能夠表達為 ( 1 ) ()( ) 39。( )( 1 ) !( ) 39。( 1 ) ( 2 ) 39。( 1 ) 2 ( 2 ) 39。雖然第三種方法的過程多，計算復雜，但是這三種方法都可以對一般的矩陣指數函數進行求解。但是二者亦有相應的缺點，本節(jié)將對其進行詳細的介紹