【正文】 50 年 ， 加布里爾 矩陣的當(dāng)代概念體系在 19 世紀(jì)慢慢完成。在 1858 年，凱萊（ Cayley）在他所寫的《矩陣論的研究報(bào)告》里面有體系地說明了矩陣的一些基本理論。德國數(shù)學(xué)家弗洛伯紐斯（ Frobenius）最先提出了最小多項(xiàng)式的 概念，矩陣中秩的概念介紹、不變的因素和主要因素、正交矩陣的相似變換，矩陣的其他概念，如合同、不變的因素和主要因素理論的邏輯排列的形式等等。到了這個(gè)時(shí)候，矩陣體系業(yè)已很完善了。最后本文將會(huì)介紹矩陣指數(shù)函數(shù)在 微分方 程中的應(yīng)用。 矩陣的化零多項(xiàng)式與它的最小多項(xiàng)式 定義 給定矩陣 , 如果多項(xiàng)式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?滿足( ) 0pA? ，則稱 ()p? 是 A 的化零多項(xiàng)式。 一個(gè)函數(shù)在給定矩陣的譜上可以沒有定義 。 定義 ：設(shè) nnAC?? ，矩陣級(jí)數(shù)形如 20 1 20kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ??， 可以被稱為矩陣冪級(jí)數(shù)。 正定矩陣 在線性代數(shù)的領(lǐng)域中，一個(gè)正定矩陣 (positive definite matrix)偶爾會(huì)被簡稱作正定陣。廣義的定義：設(shè)一個(gè) n階方陣 M ，如果對(duì)任何 z (z 是非零向量 )，如果都存在 39。 aE B? 在 a 足夠大的時(shí)候， aE B? 就可以被稱作一個(gè)正定矩陣（在這里 B 必須是一個(gè)對(duì)稱矩陣）。z 。 Jordan 矩陣 形如下列的由主對(duì)角線為特征值，次對(duì)角線為 1 的 Jordan 塊按對(duì)角排列組成的 矩陣 稱為 Jordan 形矩陣 ,而主對(duì)角線上的小塊方陣 iJ 稱為 Jordan 塊 . 1200 sJJJJ?????????， 1010iiiiii nnJ??? ??????????。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 3 矩陣指數(shù) 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在 計(jì)算常系數(shù)線性微分方程的時(shí)候時(shí)，主要考慮的是齊次線性微分方 程組39。x Ax? 聯(lián)系起來，并證明矩陣 () Atte??就是齊次線性微分方程組 39。x Ax? （ ） 這里 A 是 nn? 常數(shù)矩陣。特別的，在這里，我們可以設(shè)定 0AE? ， 0! 1? 。 ( ) 39。 進(jìn)一步指出，級(jí)數(shù) 0 !kkAtkAte k???? （ ） 在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 矩陣指數(shù) Ae 的性質(zhì) A 和 B 是可交換的，即 BA AB? ，則 ()A B A Be e e? ? （ ） 事實(shí)上，由于矩陣級(jí)數(shù)（ ）是絕對(duì)收斂的 ，因而關(guān)于絕對(duì)收斂數(shù)值級(jí)數(shù)運(yùn)算的一些定理，其中包含級(jí)數(shù)的收斂性不受項(xiàng)的重新排列影響和級(jí)數(shù)的和以及乘法運(yùn)算的性質(zhì)等都能夠運(yùn)用到這里來，由二項(xiàng)式定理以及 BA AB? 可得到 ()0 0 0()! ! ( ) !k l k lABK k lA B A Be k l k l?? ? ??? ? ?????? ?????? ? ? （ ） 另一方面，由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理得 0 0 0 0! ! ! ( ) !i j l k lABi j k lA B A Bee i j l k l?? ? ? ?? ? ? ????? ?????? ? ? ? （ ） 比較（ ）以及（ ），推得（ ） . A ，存在 1()Ae ? ，且 1( ) ( )AAee??? 實(shí)際上， A 和 A? 是可交換的，所以在（ ）中，令 BA?? ，本文推得 ( ( )) 0A A A Ae e e e E? ? ?? ? ?， 因此，可以推得 1( ) ( )AAee??? . 如果 T 是非奇異矩陣，則 1 1()T AT Ae T e T? ?? . () 事實(shí)上 ? ?1 1()111111!!!()kT ATkkkkkAT ATeEkT A TEkAE T TkT e T??????????????????? ???????? 這就是本文所需要證明的。且 (0) E??. 證明 有定義易知 (0) E??.（ ）對(duì) t 求導(dǎo)，我們得到 2 3 2 139。 因 此 (1)? 是（ ）的基解矩陣。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在上 一章矩陣指數(shù)中我們從求解常系數(shù)線性微分方程組的過程中認(rèn)識(shí)到了矩陣指數(shù)的概念，并且了解到了（ ）就是就是常系數(shù)微分方程組的基解矩陣。 定理 設(shè) nnAC?? ，在這里矩陣 A 的譜 ()fx半徑為 ? ，如果函數(shù) ()fx的冪級(jí)數(shù)的表示式是 0()kkkf x c x x ??????， 則當(dāng) ???? 時(shí) 0()kkkf A c A???? 根據(jù)定理 可以推出很多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示式，列舉其中 3 個(gè) 2112 ! !Ane E A A An? ? ? ? ???? ? ???； 3 5 2 11 1 1sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nnA A A A An ?? ? ? ??? ? ? ? ????。 （ 7）設(shè)定 B 是 Hermite 正定矩陣，那么有唯一 Hermite 矩陣 Q ，使 QBe? 。 接下來研究的問題 是：如果一個(gè)非正規(guī)的 矩陣 A 符合式 ()的條件，那么這個(gè)天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 矩陣 A 擁有什么樣的結(jié)構(gòu)呢 ?為了研究此問題，需要提前證明一個(gè)引理 引理 1 設(shè) nnAC?? ， ()fz為一個(gè)復(fù)值函數(shù)，定義域 fDC? ．矩陣方程 ()f X A?能夠求解的充分必要的條件為：對(duì)任何 ()aA?? ，總存在 fzD? ，使得 ()f z a? 。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算方法 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計(jì)算方法 矩陣指數(shù)函數(shù)的計(jì)算，即 Ate 的計(jì)算有很多種計(jì)算方法。 當(dāng) dD dt? 時(shí)，矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 的每個(gè)元素都滿足 n 階線性微分方程 ( ) 0c Dy? ， 并且 () Atte??是 n 階矩陣線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( 0) ( 0) 0n ?? ? ? ? ??? ? ? ? ．所以， 內(nèi)所有元素全部符合以下常系數(shù) n 階線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( ) , ... , ( ) , ( )A t A t n n A t n n A tt E e t A e t A e t A e??? ? ? ? ? ? ? ?， ( 1 )1 1 0110( ) ( ) 39。 由初始條件 ( 1 ) 1( 0) , 39。 同時(shí) 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 21 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 微分方程系數(shù)求解法 這一節(jié)闡述的是計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 的第二種方法，和上節(jié)的方法部分相似，使用了微分方程，不過此方法開始求得 Ate 的一個(gè)表達(dá)式，接著經(jīng)過求解一些常系數(shù)的微分方程來計(jì)算 Ate 表達(dá)式的系數(shù)，最后算出 Ate ． 定理 設(shè) n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式是 11 1 0( ) d e t ( ) nnnc E A c c c? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?， 則 112( ) ( ) ( )A t nne x t E x t A x t A ?? ? ? ????， 其中 ( ),1kx t k n??，是 n 階常系數(shù)線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( 0 ) 1( 0 ) 1( 0 ) 0 ( 0 ) 0nnnnnnxxxxxxx ?????? ?????? ?? ? ????? ? ?? ? ?? ? ?????? ?。1 1 0( ) ( 1 )1 1 1 1 1 0 1( ) ( 1 )2 1 2 1 2 0 2( ) ( 1 ) 11 1 01( ) ( ) ( ) ( )( 39。1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0nnnt c t c t c t??? ? ? ? ???? ? ? ? ? 并且 112112( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 112( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。( 0 )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )nnnnn n n n n nnx E x A x A Ex E x A x A Ax E x A x A A??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ? 所以 112( ) ( ) ( ) ( ) nnt x t E x t A x t A ?? ? ? ? ???? 是 ( ) ( 1 )1 1 0( ) 0nnnc t c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ? ( 1 ) 1( 0) , 39。 39。(0 ) 0x x x? ? ?時(shí)， 21( ) 2 ttx t te e?? ?。(0 ) 0x x x? ? ?時(shí)， 22 ( ) 3 2 2t t tx t te e e? ? ? 當(dāng) (0 ) 0 , 39。 同時(shí) 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 26231 4 5 61 0 2 7A??????????, 所以 2 2 2 2( 2 ) ( 3 2 2 ) ( )A t t t t t t t t te te e E te e e A te e e A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最后算出 22222 4 2 2 2 22 2 2 2t t t t t tA t t t t t t t tt t t t t te te e te e ee e te e e te e ee te e te e e??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? Jordon 塊求解法 在這一節(jié)中闡述的計(jì)算比之前的計(jì)算方法計(jì)算較為麻煩 ,原理和過程同樣不一樣，這個(gè)計(jì)算方法用到了矩陣函數(shù)的 Jordon 表示式的知識(shí)，此方法利用 Ate 的Jordon 表示式的計(jì)算間接的求得 Ate ． 已知 nnAC?? 和變量 ? 的多項(xiàng)式 11 1 0() mmmmp ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ?， 則稱 11 1 0() mmmmp A A A A E? ? ? ???? ? ? ???? ? 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 是 A 的矩陣多項(xiàng)式． ()pA和 A 同為 n 階方陣 若 iJ 為 id 階 Jordon 塊矩陣 111iiiiii ddJ??? ?????????? 則 111111iiiid k dkki k i k ikki k ikiki ddCCCJ? ? ????? ? ????????????? 關(guān)于 id 階矩陣 ()iJ? 的矩陣多項(xiàng)式 1110() mmi m i m i i ip J J J J E? ? ? ???? ? ? ???? ? 由 (1)式可引入多項(xiàng)式 ()p? 的各階導(dǎo)數(shù)，然后 ()ipJ 能夠表達(dá)為 ( 1 ) ()( ) 39。( )( 1 ) !( ) 39。( 1 ) ( 2 ) 39。( 1 ) 2 ( 2 ) 39。雖然第三種方法的過程多，計(jì)算復(fù)雜，但是這三種方法都可以對(duì)一般的矩陣指數(shù)函數(shù)進(jìn)行求解。但是二者亦有相應(yīng)的缺點(diǎn)，本節(jié)將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)的介紹