【正文】 . 同時(shí) ( ) ( ( ))TTf B f B? ．如果將 HBB? 表示為矩陣 B 的共軛轉(zhuǎn)置， 即知 HBB? ，且 ( ( )) ( )Hf B f B? ． 令 ()Q f B? ， Q 唯一，并有 QBe? 假使 ()nA M C? 是正規(guī)矩陣， ()HA A Hee? ，可以推導(dǎo)得 ()HA A Hee? （ ） 另一方面，若 nnAC?? 符合式（ ），那么 Ae 是正規(guī)矩陣，即 定理 設(shè) nnAC?? ， Ae 是正規(guī)矩陣的充分必要的條件為 ()HA A Hee? 成立。 ,A A H HA e e A Q A Q T TQ A Q? ? ? ? 即 ? ?12, , ...,H SQ A Q diag A A A? 式中： ( ),1JjA M C j s? ? ?. 易證方程 ,1jAe T j s? ? ?有解存在， jA 可逆， 1 js?? 故 ln ,1jA T j s? ? ?，而 jA 可對(duì)角化， 1 js??， 從而 ,1A j s?? 是可以對(duì)角化的 充分性 顯然。因此可以解決一般性情況，前二種方法建立在微分方程的基礎(chǔ)上，主要利用微分方程來對(duì) Ate 進(jìn)行計(jì)算，但解法與基本思路并不 相同；第三種方法從運(yùn)用到了 Jordon 表示式的知識(shí)，主要根據(jù)矩陣函數(shù)的 Jordon 表示式的變化求解，此方法經(jīng)過計(jì)算 Ate 的 Jordon 表示式計(jì)算 Ate ，但是變化 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)形階段有點(diǎn)復(fù)雜，而且整理之后變換矩陣 P也需要計(jì)算，這里所需計(jì)算相當(dāng)大，并且如果矩陣 A 的階數(shù)較大，這里所需的計(jì)算也會(huì)變復(fù)雜．雖然如此，但是 此方法也有優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算步驟很清楚，過程也很明了，容易理解，除了計(jì)算，在使用時(shí)也很方便． Hamilton‐ Cayley 求解法 在這節(jié)探究的計(jì)算方法使用了 Hamilton‐ Cayley 定理和定理 ，通過定理 能夠推知 Ate 是一個(gè)初值條件的微分方程的解，通過求解這個(gè)微分方程 來計(jì)算 Ate ． 定理 (Hamilton‐ Cayley 定理 ) n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式 1( ) d e t ( )( ) ( 1 ) d e tn n nc E Atr A A???????? ? ? ???? ? 是 A 的化零多項(xiàng)式，即 ( ) 0cA? 定理 在這里 n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式是 11 1 0( ) d e t ( )nnnc E Ac c c??? ? ?????? ? ? ???? ?。 證明： 首先證明問題（ ） ~（ ）解的唯一性．設(shè) 12,??都是 n 階矩陣線性 微分方程 ()的解，并且滿足初值條件 ()，令 12??? ?? ．所以 ? 滿足陣線性微分方程 () ，且滿足初值條件 ( 1 )( 0) 39。 下面證明這唯一解就是矩陣指數(shù)函 數(shù)． n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式 : 11 1 0() nnnc c c c? ? ? ???? ? ? ???? ? 如果 () Atte??，則 ( 1 ) 1 ( )( ) , 39。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ? 的唯一解．證畢． 在這里本文設(shè)定矩陣 A 存在 n 個(gè)互不相等的特征值 12, ,..., n? ? ? ． 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 19 所以微分方程 ( ) ( ) 0c D t??的通解是 1212( ) , ( 1 , 2 , . . . , )n ttt nkt C e C e C e C k n???? ? ? ? ???? ? 為 n 階常數(shù)矩陣。( 0) , ... , ( 0)nnG E G A G A??? ? ?可得一個(gè)關(guān)于未知量 12, ,..., nC C C 的 n 階線性方程組，其系數(shù)矩陣 cV 是 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 20 1122111 2 1 21 1 1111 0 0 1 0 01 0 1 02 0 2 0( 1 ) ! ( 1 ) !( 1 ) ( 1 )( ) ! ( ) !kkkknsnsn n n nk k knnnnn s n s??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 通過解此方程組可求得 , 1,2,...,iiSC i k?，即可求出 Ate ． 例 1 計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù) Ate ，其中 2 1 16 3 24 1 3A? ? ???????? 解： 特征方程為： 2( ) de t( ) ( 1 ) ( 2)c E A? ? ? ?? ? ? ? ? 所以矩陣 A 的特征值為 1,1,2 ．所以 1 0 11 1 21 2 4cV????????? 10 2 12 3 11 2 1cV??????? ? ???? 因此， 21 2 3()At t te C tC e C e? ? ? 3 11ji ijjC V A????， ijV 是 1cV? 的元素。( 0 ) 0 39。1 1 0 0nnnx c x c x c x??? ? ???? ? ? 的解，且滿足定理的初值條件 ．則 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 22 ( ) ( 1 ) 39。 )0 0 0 0nnnnnnnnnn n nn n n n nnt c t c t c tx c x c x c x Ex c x c x c x Ax c x c x c x AE A A??????????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? 所以 ( ) ( 1 ) 39。( 0 ) 39。39。39。39。(0 ) 1x x x? ? ?時(shí)， 23 () t t tx t te e e? ? ? ?。 定理 設(shè) nnAC?? ， J 是此矩陣 Jordon 的標(biāo)準(zhǔn)形， 1,nnnP C A PJP????，如果在 A 的影譜上函數(shù) ()fx有定義，那么 112( ) ( ( ) , ( ) , . . . , ( ) )rf A P d ia g f J f J f J P ?? 其中 ( 1 ) ()( ) 39。(1 ) 0( J) 0 (1 ) 00 0 ( 2)fffff???????， 所以 (A)f 的 Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型是： 1( A ) ( J) P2 ( 1 ) 2 39。( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 )2 ( 1 ) 2 39。第一種和 第二種方天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 27 法的計(jì)算都用到了微分方程方面的相關(guān)知識(shí)，這兩種方法中都運(yùn)用了到一個(gè) n 階的線性微分方程，通過對(duì)這個(gè)方程的求解來計(jì)算 Ate , 第三種方法從運(yùn)用了Jordon 標(biāo)準(zhǔn)型的知識(shí)，主要依據(jù)矩陣函數(shù)的 Jordon 表示式的變化求解。使用矩陣指數(shù)函數(shù)展開法會(huì)避免矩陣特征值的計(jì)算 , Laplace變換法則運(yùn)用了 Laplace變換，也不用計(jì)算矩陣的特征值。 定義 0(s) (t) dtstF e f?? ?? ? 定義在復(fù)平面 (Res )?? 上的復(fù)變數(shù) s 的函數(shù) (s)F ，一般叫它函數(shù) ()ft的 Laplace天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 28 變換，在這里 ()ft在 0t? 有意義。 矩陣指數(shù)函數(shù)展開法 例題，設(shè) 0110A ????????，計(jì)算 Ate 直接計(jì)算 2 3 4 5, , ,A I A A A I A A? ? ? ? ? ? ?,I 是二階的單位矩陣。 實(shí)際上，由于以上 3種方法均需要求計(jì)算矩陣的特征值，當(dāng)矩陣的階數(shù)變高，或者出現(xiàn)復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，計(jì)算矩陣的特征 值將會(huì)變得困難。( 1 ) ( 1 ) 2 ( 2 )f P ff f f f f ff f f f f f ff f f f f f??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 當(dāng) (x) extf ? 時(shí)， 2(1 ) e , 39。( 1 ) ( 1 ) ( 2 )2 ( 1 ) 4 39。( )()39。( )( 1 ) !( ) 39。(0 ) 0 , 39。 當(dāng) (0 ) 0 , 39。 0x c x c x c x? ? ? ?的通解為： 21 2 3() t t tx t te e e? ? ?? ? ? 當(dāng) (0 ) 1, 39。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ? 的解。( 0 ) 39。 )( 39。 證明： 設(shè) n 階方陣 A 的特征多項(xiàng)式是 11 1 0( ) d e t ( ) nnnc E A c c c? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ?。0nnnx c x c x c x??? ? ???? ? ? 的 解，各自滿足且初值條件： 12( 1 )( 1 ) ( 1 )12( 0 ) 0( 0 ) 1 ( 0 ) 039。( 0) , ... , ( 0)nnE A A??? ? ? ? ? ?可得一個(gè)關(guān)于未知量 12, ,..., nC C C 的 n 階線性方程組： 121 1 2 22 2 2 21 1 2 21 1 1 11 1 2 2,.nnnnnn n n nnnE C C CA C C CA C C CA C C C? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ????? ? ? ???????????????????????????????????????????? ???? ? ? ???? 設(shè)系數(shù)矩陣為 cV ，那么這個(gè)矩陣是范德蒙矩陣，那么 0d e t ( )c j ii j nV ??? ? ????， 因?yàn)榇司仃嚨奶卣髦刀疾灰粯?，因此這個(gè)系數(shù)矩陣行列式不等于 0 ，所以這個(gè)方程組存在解． 1212 n tttAt ne C e C e C e ???? ? ? ????， 11n ji ijjC v A ????， ijv 是 1cV? 的元素。( ) ( )()()0nnn n A tnAtt c t c t c tA c A A c E ec A e?????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? (Hamilton‐ Cayley 定理 )． 同時(shí) ( 1 ) 10 0 0( 1 )( ) , . . . , ( )nA t A t A t nt t tndde E e A e Ad t d t? ?? ? ??? ? ?滿足初值條件 ()． 所以 Ate 是 n 階矩陣線性微分方程 ( ) ( 1 ) 39。0nnnx c x c x c x??? ? ???? ? ?， ( 1 )( 0) 39。0nnnc c c??? ? ? ? ???? ? ? ? ? () 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 18 ( 1 ) 1( 0) , 39。日常的計(jì)算中有許多常用的方法。 證明 必要性． 設(shè)存在 ()nX M C? ，有 ()f X A? ． 記的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形是 1 , d et 0XX PJ P P??? 式中： ? ?1212( ) , ( ) , . . . , ( )rX n n n rJ d ia g J z J z J z? in 是 Jordan 塊的階數(shù)， 1 ir?? ，由 引理 可知 ? ?? ?12112( ) ( ) ,( ( ) , .. ., ( ) )rnn n rA f x P diag J zf J z J z P ??? ， 從而有 ( ) ( ) , 1, 2 , ... ,kf z A k r???， 即存在 ()aA?? ，有 ()f z a? 充分性． 設(shè)對(duì) 任何 ()aA?? ，方程 ()f z a? 有解存在． 令 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形是 ? ?11 1 1 1 1 1( ) , ( ) , . . . , ( ) , . . . , ( )rA t r r r t rJ d ia g J a J a J a J a? 于是存在可逆矩陣 ()AP M C? ，使 ()f z