【正文】 s? ? ?… 可能有相同的， 12, , , sm m m… 中也可能有相同的，但總有1ssi mn? ??； 每個初等因子 ? ? imi??? 對應(yīng)著一個 Jordan塊 iJ ，其階數(shù)為 im ，對角線元素為 i? ，即iiiii mJ???????????? 這些 Jordan塊的組合構(gòu)成一個 Jordan矩陣 J，即12sJJJJ????????? 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 17 例 設(shè)????????????????221111122A ，求 Ate . 解 令 ? ? tef ?? ? .求得 A 的 Jordan標準形為： 121 1 000 1 000 0 1JJJ???? ??????????. 再求相似的變換矩陣 P . 設(shè) 11 2 3( , , ) , , ,P P A P J A P P J? ? ? ?? ? ?使 則即 ? ? ? ?1 2 3 1 2 31 1 0, , , , 0 1 00 0 1A ? ? ? ? ? ???????? 1 2 3,??? 應(yīng)滿足112 1 233AAA??? ? ????????????即 13,??是 ( ) 0A I x??兩個線性無關(guān)的解 . 解1 2 11 2 1 01 2 1x?????? ? ?????，同解方程組 1 2 320x x x? ? ?，令 23,xx分別取 (1,1),(0,1) ,得特征向量13111 , 011???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，于是有 200,1????????????則1 0 11 0 01 1 1P????????，計算出 10 1 01 2 11 1 0P ?????? ? ???. 于是 ? ? ? ? ? ? ? ?111 200At fJe f A Pf J P P PfJ????? ? ? ???? 1(1 ) (1 ) 00 (1 ) 00 0 (1 )ffP f Pf????????? ???????????????????????????????? ??01112101000000111001101tttteetee??????????????????ttttttttte t122121. 一 個重要的結(jié)論：以獨立的矩陣函數(shù)和 Jordan塊 的排列順序沒有任何關(guān)系，沒有選定具體的變換矩陣 P，矩陣函數(shù)總能轉(zhuǎn)為計算矩陣多項式。 定理 n 階方陣 A 的最小多項式等于它的特征矩陣的第 n 個（也就是最后一個）不變因子 ()nd? 。 因此，矩陣 A 的最小多項式是 1212( ) ( ) ( ) ( ) smmm sm ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?，它的最小多項式就是它的零化多項式，也就是 1212( ) ( ) ( ) ( ) 0 .smmm sm A A I A I A I? ? ?? ? ? ? ? 按照矩陣函數(shù)的定義，只要求出多項式 ??g? ，有 ? ? ? ? ? ? ? ?10 , 1 , 2 , , 11 , 2 , 3 , ,lli i isiif g l disdm???? ?? ? ? ???????????????????????????????? ??????????????????????????????? ??…… 令 ? ? 210 1 2 1 mmg a a a a? ? ? ? ??? ? ? ? ?…其中 m是 A的一個極小多項式的次數(shù)，從上述條件可 以 得 到 方 程 組 求 出 0 1 1, , , ma a a ?… ， 從 而 得 到 ??g? ，最終得到? ? ? ? 210 1 2 1 mmf A g A a I a A a A a A ??? ? ? ? ? ?… 這是待定系數(shù)法的使用（多項式法）求解矩陣函數(shù)的相關(guān)理論知識，這里有具體的例子說明了如何使用這種方法。初等變換主要包括三種情況：線性方程組里的初等變換、 行列式 中的初等變換和矩陣的初等變換。下面給出的三種初等變換都稱作矩陣初等行變換：將兩行對調(diào)； 某一行的所有元素乘上一個非零實數(shù)； 將某一行所有的元素乘以非零常數(shù) k 加到另一行分別與之對應(yīng)的元素上去。四 種方法中的第二種計算方法難度最大，在 求 ? ?fA的 Jordan 表示式時，要求矩陣 A 的 Jordan 標準形式，在求 Jordan 標準型的過程中還要涉及 ? 矩陣的初等變換，計算很麻煩，最后還要算交換矩陣 P ，計算量非天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 20 常大，矩陣 A 的階數(shù)變大也會增加很多計算量；同時也是最實用的， 因為這種方法的優(yōu)點是計算步驟非常清晰，容易理解。同時也 可以 解決 不僅 數(shù)學領(lǐng)域 而且 工程技術(shù)等其它 許多 領(lǐng)域的眾多 計算難題。 優(yōu)化控制系統(tǒng)主要討論了變參數(shù)的多變量的高性能，多變量系統(tǒng)的精度高，主要工具就是矩陣理論。上個世紀 50年代左右，最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論經(jīng)過一段時間的應(yīng)用和改善，已經(jīng)發(fā)展成了一套完整的理論，在許多工程技術(shù)領(lǐng)域中都有線性系統(tǒng)理的使用。然而，這種理論也具備非常突出的不足之處，最明顯的不足之處是不能很好地處理多輸入和多輸出的系統(tǒng)，而且很難表示出一個系統(tǒng)的真正的內(nèi)部特征?；跔顟B(tài)的空間方法，卡爾曼將系統(tǒng)的可控制性與可觀測性這兩個最能揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的重要的概念又向前推進了一部，在實踐應(yīng)用中已經(jīng)可以充分說明它們兩個是線性系統(tǒng)的理論中的最常用到的概念。 產(chǎn)生了新的探討線性的系統(tǒng)的特征和它的結(jié)構(gòu)的方法，這種方法主要是天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 21 以幾何方法解決實際問題，同時產(chǎn)生了基于抽象代數(shù)的主要用于線性系統(tǒng)的代數(shù)新理論，也出現(xiàn)了基于擴展的經(jīng)典頻率的方法開發(fā)而來的多變量頻域理論。能控制性其實指的是一種可能性，它是指控制作用 )(tu 對被控制系統(tǒng)的狀態(tài) )(tx 進行控制的這種可能性；能觀性描述的其實是一種可能性，它是通過系統(tǒng)輸出 )(ty 反推系統(tǒng) 狀態(tài) )(tx 的可能。 對于能控性的定義，說明幾點： (1)初始狀態(tài) )(0tx 是狀態(tài)空間中任意的非零有限點，控制目標是狀態(tài)空間坐標原點 (原點能控性 )。 (3) 若 0 0t? ， )0()( 0 xtx ? ，系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 x (t)= Ate )0(x + ??? dBue tAt )()1(10 ?? 如果系統(tǒng)是能控的，能找到控制 ()ut ，使得 天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 22 1()xt = 1Ate )0(x + ??? dBue tAt )()1(10 ?? =0 1Ate )0(x = ??? dBue tAt )()1(10 ?? x (0)= ??? dBue tAt )()1(10 ?? （ 12） 滿足初始狀態(tài)類型 (0)x ， 必須是可控的狀態(tài)。 (3)能觀測性表示的是輸出 ()yt 反映狀態(tài) ()xt 的能力 ,與控制作用沒有直接的關(guān)系，所以在分析能觀測性時，不 妨設(shè) () 0ut? ，只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)進行分析。如果可以改變和掌管系統(tǒng)的每一個運動狀態(tài)，并且通過任何一個開始的點都可以到達原來的狀態(tài)空間原點，那么就稱這個系統(tǒng)是完全可控制的。可控制 性的判別規(guī)則最常用的有三種： 通過判定矩陣來判斷能控性。 矩陣的秩 : 用 初等 行變換將 矩陣 A 化為階梯形矩陣 ,則矩陣中非零行的個數(shù)就定義為這個矩陣的秩 ,記為 ()rA 。此狀態(tài)可確定哪個狀態(tài)不可控。為了便于理解和后續(xù)研究，在這里介紹一個非常重要的概念，傳遞函數(shù)。傳遞 函數(shù) 是描繪 線性系統(tǒng) 動態(tài)特點的常用工具， 最初產(chǎn)生的控制理論 經(jīng)常使用的研究方式是響應(yīng) 頻率法和 根軌跡方法 ，它們都以傳遞函數(shù)為知識基礎(chǔ)。根據(jù)傳遞 函數(shù) 的知識探討和 整合控制的系統(tǒng) 方法就是頻域法。拉普拉斯變換是 線性變換 ，它能使一個有引數(shù)實數(shù) t （ 0t? ）的函數(shù)變換成引數(shù)為復數(shù) s 的函數(shù)。引進拉普拉斯變換最明顯長處，是采用了 傳遞函數(shù) 來描述系統(tǒng)的特征，取代了以前的常系數(shù)微分方程。 它的功能是主要是轉(zhuǎn)換，它是以使計算簡單為目的的，主要是真實變量和復雜的 變量間變換功能。傳遞函數(shù)是由系統(tǒng)的性質(zhì)決定的，是獨立的輸入量。 與能控性對應(yīng)，能觀測性也有三種判斷規(guī)則： 利用能觀測性的判定矩陣來判斷。約當陣的數(shù)學定義：矩陣 A 具有 n 個特征值，它的前 m個特征值是相同的，天津科技大學 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計 25 后 nm個特征值是不相同的，我們知道前 m個相同的特征值對應(yīng)一個獨立的特征向量 1P ，但是后面 nm個不一樣的特征值表示的特征向量也是不一樣的。此外 ,約當陣都包含約當塊，有幾個特征向量就有幾個約當塊，因為每一個特征向量都有對應(yīng)的約當塊。 C（ SIA） 1不存在零極點相消，是完全能觀測的。在這里介紹一下頻域的基本概念。如果零極點對消，那么系統(tǒng)就有三種假設(shè)，可控制但是不可觀測，不可控制但是可以觀測，既不可以控制也不可以觀測。 在現(xiàn)代的控制論中，線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法， 約當陣 是一個重要的標準，是不可對角化的矩陣。令 P=[1P 2P ......Pm+1 Pm+2....Pn],有 1J P AP?? ， 1P? 表示 P 的逆矩陣， J為約當陣。 利用對角約當規(guī)范型來判斷。不難看出有關(guān)傳遞 函數(shù) 的理論在現(xiàn)代的控制理論扮演著重要的角色。如果是在 [0,+∞ )積分，稱為單側(cè)拉普拉斯變換，用 ()Fs表示，它是一個復變函數(shù)。拉普拉斯變換是通過 0t? 的連續(xù)時間函數(shù)()xt 再通過關(guān)系式 0( ) ( ) stX s x t e dt? ?? ? (式中 st 為自然對數(shù)底 e 的指數(shù) )變換為復變量 s 的函數(shù) ()Xs。 拉普拉斯變換方法計算出結(jié)果的線性微分方程是非常明顯的，因為它可以將微分方程化為代數(shù)方程， 所以計算很簡單。一個純虛復數(shù)當它的虛部是角頻率時在傳遞函數(shù)中被稱作 頻率響應(yīng) 。所以可以先將整體分為幾個部分，先求出每個部分自己的傳遞函數(shù)，再通過一定的邏輯性將這些傳遞函數(shù)組合起來就是我們要求的整體的傳遞函數(shù)。是在最開始的 系統(tǒng) 中輸出變量的 拉氏變換 和輸入變量的拉氏變換的商。狀態(tài)輸入型的傳遞函數(shù)： （ SIA） 1B無零極點相消現(xiàn)象，它是完全可控的。 滿秩矩陣這 個概念非常重要，它能判斷矩陣是否可逆，非奇異矩陣是滿秩矩陣。如果 B 的秩為 r ，可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An rB]。 如果任何形式的狀態(tài)變量的輸出系統(tǒng)都充分體現(xiàn)了運動，所代表的系統(tǒng)狀態(tài)可觀，則稱為觀察。 二、能控性與能觀 測性的判定 線性的系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)特征是能控性與能觀測性，它們表示的是系統(tǒng)的輸入輸出與系統(tǒng)內(nèi)在狀態(tài)量之間的聯(lián)系。 能觀測性定義 一般地，對于線性定常系統(tǒng) 如果在 10tt? 的有限時間區(qū)間 [0t ， 1t ]內(nèi)，通過觀測 ()yt ,能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài))(0tx ，稱系統(tǒng)狀態(tài)在 0t 是能觀測的； 如果對任意 的初始狀態(tài)，可以觀察到，就說系統(tǒng)是完全可觀測的，稱為系統(tǒng)的狀態(tài)可以觀察或系統(tǒng)可觀察。在這里簡單介紹一下非奇異矩陣。 下面就給出線性系統(tǒng)的可控制性與可觀測性的定義。為了使研究的問題更透徹，接下來重點介紹一下能控性和能觀測性。這種影響集中體現(xiàn)在用“內(nèi)在研究”替代了傳統(tǒng)的“外在研究”，并將探討和整合的過程需要的基礎(chǔ)理論變的更加嚴格起來。狀態(tài)的空間方法的一個最主要的特征是：通過描述狀態(tài)的內(nèi)部空間的方法代替以前的使用傳遞函數(shù)的方法描述外部的輸入和輸出系統(tǒng)，并且通過在時間區(qū)域內(nèi)對整個系統(tǒng)進行探討和整合。 [14]最開始出現(xiàn)的線性系統(tǒng)理論是以拉普拉斯變換作為最基本的數(shù)學知識，它的最根本的數(shù)學模型就是前面提到的傳遞函數(shù)，最基本的研究和綜合方式是通過頻率響應(yīng)的方法。 同樣地，為了更好地研究本問題，對本問題中涉及到的控制學中概念做一些簡單介紹。 現(xiàn)代科學技術(shù)有許多不同的領(lǐng)域，其中包括的自動控制技術(shù)在各個方面的作用越來越明顯。 4 矩陣函數(shù)的應(yīng)用 矩陣函數(shù)理論 對于 矩陣理論 意義重大 。如果矩陣 A 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 B ，那么矩陣 A 與 B 是等效的 。 由于本文是矩陣函數(shù)及其應(yīng)用的研究，因此本文主要對矩陣的初等變換進行闡述，對另外兩種初等變換不作詳細介紹。首先了解初等變換的概念。 設(shè) n 階方陣 A 的不變因子反向依次為 11( ), ( ), , ( )nnd d d? ? ?? ，由他們給出的初等因子分別為 1 2