函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用畢業(yè)論文(文件)
【正文】 （1） 若時，當(dāng)時，則在點取得極小值；（2） 若時，當(dāng)時，則在處取得極大值。（1）當(dāng)，則函數(shù)在處取得極大值；（2）當(dāng)，則函數(shù)在處取得極小值。例4 設(shè)函數(shù)由方程所確定，且。 一次函數(shù)單調(diào)性的判別一次函數(shù)的解析式：當(dāng)時，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是上升的：當(dāng)時，對應(yīng)定義域內(nèi)圖像是下降的；當(dāng)時，一次函數(shù)變成為常數(shù)，不討論單調(diào)性。其中當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù),其中當(dāng)時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時,的值越小函數(shù)值下降越快；當(dāng)時,的值越大函數(shù)值增加越快。例1 求證：當(dāng)時。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。解：(1)，若=0，則。所以，當(dāng)∪時，曲線=與軸僅有一個交點。解：（1）∵，∴,從而 即是一個奇函數(shù),所以得，由奇函數(shù)定義得；（2） 由（1）知從而，令=0，解得 ，由。（1）當(dāng)時，函數(shù)在處有極值，且當(dāng)時有極小值；時有極大值；（2）當(dāng)時，函數(shù)在處沒有極值；（3）當(dāng)時，函數(shù)在處可能有極值，也可能沒有極值。類似地，由 ，可知，又，從而點是的極大值點，極大值為。不過在實際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點是不是極值點。關(guān)于極小值也類似。最后比較所有這些函數(shù)值，最大者為最大值，最小者為最小值。解：由原式得所以由 得,此時有。故在上的最大值就是在上的最大值。結(jié)論1 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且滿足如下條件：（1）時，則有；（2）時，則有。例 1 求證：證明：令,函數(shù)的定義域是。證明: 令 ,則有,，即，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，即。例 1 求解方程： 解：令因為為在上的單調(diào)遞增連續(xù)函數(shù)，且有即在[2,6]上只有一個根。解：設(shè)則有因為，所以在上是增函數(shù)，即原方程與方程同解，即為方程：的解。解：由，所以,都是方程的根。函數(shù)單調(diào)性運用于比較大小的一般做法：首先運用導(dǎo)數(shù)等方法判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，然后利用以上性質(zhì)在嚴格單調(diào)的區(qū)間內(nèi)比較大小。 單調(diào)性在材料合理利用中的應(yīng)用例1 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取使所用材料最??？解：金屬飲料罐高為，底面半徑為，材料最省即是表面積最小，且表面積是關(guān)于和的二元函數(shù)，則=+.由常數(shù)（定值），則 =2++（為常數(shù)） 令,則,代入，得，即。兩種原料的價格分別為與（單位：萬元噸）。(1)在廣告費用不限的情況下，求最佳廣告策略；(2) 若提供的廣告費用為總額1．5萬元，求相應(yīng)最佳廣告策略。 所以最大利潤為萬元。 單調(diào)性在結(jié)構(gòu)工程中的應(yīng)用例1 如下圖所示，此簡圖為一常見的框架梁結(jié)構(gòu)圖。由此可知，車站建于之間并且與相距處時，運費最省。展望未來，隨著相關(guān)理論基礎(chǔ)的不斷充實，函數(shù)單調(diào)性將會在解決實際問題中發(fā)揮更大的作用，諸如計算飛船下落回收時間，計算物種成長繁殖速度問題等，這些在目前看來尚不能精確掌握的問題都會迎刃而解。更感謝我含辛茹苦的父母親，他們都是農(nóng)民，他們沒有文化，他們不能給予我榮華富貴，但是他們是我最親愛的人，他們給予了他們能夠給予我的父愛母愛，給予了我做人的最基本的道理。感謝老師對我論文的指導(dǎo)，幫我解決了一些疑難問題，令我豁然開朗、柳暗花明。非常感謝我的畢業(yè)設(shè)計指導(dǎo)老師——劉倩老師對我的畢業(yè)論文進行了悉心的指導(dǎo)，并提出了很多的寶貴意見。在這四年里，幸運的讓我遇到了這么多令我受益匪淺的老師、同學(xué)，正是在他們的關(guān)懷幫助下，我才能從懵懂之童,成長到今天,才能順利的完成這次的畢業(yè)論文。本文的創(chuàng)新點在于不僅對單調(diào)性在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用進行了分類歸納，更深入例舉了函數(shù)單調(diào)性在解決實際問題中的應(yīng)用，像如何做到使材料最省、利潤最大，優(yōu)化路徑等。（3）依題意得當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；故時，取得最大值，,即彎矩最大處在跨中位置。(2)，即為在約束條件 下， 求的最大值．作拉格朗日函數(shù)求函數(shù)的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)?，得方程組：并和條件聯(lián)立解得。則為惟一的駐點。因駐點唯一，且實際問題必有最大產(chǎn)出量，故在兩種原料投入的總費用為（萬元）時，這兩種原料的投入量為（噸），（噸），可使該產(chǎn)品的產(chǎn)出量最大。由,得=，函數(shù)在上連續(xù)，故必有最大值和最小值，則當(dāng)變化時的變化情況如下表：表 41 0 +00 遞增極大值 遞減0由表可知= =。解：因為所以即有因為，不妨設(shè)，在上單調(diào)遞增，則，所以，即。例2 設(shè)實數(shù)滿足條件求的值解：設(shè)，有,因為.又,令即為單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，所以，即有。 單調(diào)性在化簡求值方面的應(yīng)用對于求代數(shù)式的值，可視為相應(yīng)函數(shù)的一個特殊值，再利用該函數(shù)的單調(diào)性，把函數(shù)值的相等轉(zhuǎn)化為自變量的相等，有時能巧妙獲解。例 2 當(dāng)時，解方程。求證：證明: 將上限改寫成，設(shè)輔助函數(shù)為則（因為），所以單調(diào)遞減，故,所以單調(diào)遞減。當(dāng)時,當(dāng)時,，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，最大值是0。結(jié)論3 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則有。又，因此在上的最大值為。
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