【正文】 kk A???可以被證為收斂的，同時 S 可以稱為矩陣級數(shù)1kk A???的和，記作1kk AS?? ??。 定義 ：設(shè) nnAC?? ，矩陣級數(shù)形如 20 1 20kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ??， 可以被稱為矩陣冪級數(shù)。 ( ) ( )x A t x f t?? （ ） 如果 () 0ft? 則稱（ ）為非齊次線性的， 如果 () 0ft? 則為齊次線性的，此時方程形式為 39。 正定矩陣 在線性代數(shù)的領(lǐng)域中，一個正定矩陣 (positive definite matrix)偶爾會被簡稱作正定陣。 對稱 正定雙線性形式（復(fù)域中則對應(yīng) 埃爾米特 正定雙線性形式）是和正定矩陣相對應(yīng)的 線性算子 。廣義的定義：設(shè)一個 n階方陣 M ，如果對任何 z (z 是非零向量 )，如果都存在 39。z ，就可以將 M 稱作一個正定矩陣。 aE B? 在 a 足夠大的時候， aE B? 就可以被稱作一個正定矩陣（在這里 B 必須是一個對稱矩陣）。 0zMz? 。z 。明顯可以看出Hermitian 矩陣是實對稱陣的推廣。 Jordan 矩陣 形如下列的由主對角線為特征值，次對角線為 1 的 Jordan 塊按對角排列組成的 矩陣 稱為 Jordan 形矩陣 ,而主對角線上的小塊方陣 iJ 稱為 Jordan 塊 . 1200 sJJJJ?????????， 1010iiiiii nnJ??? ??????????。其形式如下： 211 1 1212 2 2213 3 3211111nnnnm m mV? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???????????????? ?????????? 在范德蒙矩陣中，矩陣的行數(shù)是 m，矩陣的列數(shù)是 n，則矩陣擁有最大的秩min( , )mn 。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 7 3 矩陣指數(shù) 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在 計算常系數(shù)線性微分方程的時候時，主要考慮的是齊次線性微分方 程組39。x Ax? 的基解矩陣的求解密切相關(guān)。x Ax? 聯(lián)系起來，并證明矩陣 () Atte??就是齊次線性微分方程組 39。在 節(jié) 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)中，本文將先簡單介紹矩陣函數(shù)的概念，在介紹矩陣指數(shù)函數(shù)時，會先從指數(shù)函數(shù)的概念中推出類似的矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，并對它們進行一一證明。x Ax? （ ） 這里 A 是 nn? 常數(shù)矩陣。 為了求解（ ）的基解矩陣，需要定義矩陣指數(shù) Ae 。特別的，在這里，我們可以設(shè)定 0AE? ， 0! 1? 。特別的，對所有的元都為 0 的零矩陣 0 ，有 0eE? 。 ( ) 39。 關(guān)于級數(shù) Ate 的收斂性 易知對于一切正整數(shù) k ，有 !!kk AAkk?， 又因為任意矩陣 A ， A 是一個確定的實數(shù)，所以數(shù)值級數(shù) 22 ! !mAAEAm? ? ? ???? ? ??? 是收斂的（上式和為 1 Ane?? ）。 進一步指出，級數(shù) 0 !kkAtkAte k???? （ ） 在所有有限區(qū)間上是一致收斂的。 因為（ ）是一致收斂的，所以可以對（ ）進行求導(dǎo)。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 9 矩陣指數(shù) Ae 的性質(zhì) A 和 B 是可交換的，即 BA AB? ，則 ()A B A Be e e? ? （ ） 事實上，由于矩陣級數(shù)（ ）是絕對收斂的 ，因而關(guān)于絕對收斂數(shù)值級數(shù)運算的一些定理，其中包含級數(shù)的收斂性不受項的重新排列影響和級數(shù)的和以及乘法運算的性質(zhì)等都能夠運用到這里來，由二項式定理以及 BA AB? 可得到 ()0 0 0()! ! ( ) !k l k lABK k lA B A Be k l k l?? ? ??? ? ?????? ?????? ? ? （ ） 另一方面，由絕對收斂級數(shù)的乘法定理得 0 0 0 0! ! ! ( ) !i j l k lABi j k lA B A Bee i j l k l?? ? ? ?? ? ? ????? ?????? ? ? ? （ ） 比較（ ）以及（ ），推得（ ） . A ，存在 1()Ae ? ，且 1( ) ( )AAee??? 實際上， A 和 A? 是可交換的，所以在（ ）中，令 BA?? ，本文推得 ( ( )) 0A A A Ae e e e E? ? ?? ? ?， 因此，可以推得 1( ) ( )AAee??? . 如果 T 是非奇異矩陣，則 1 1()T AT Ae T e T? ?? . () 事實上 ? ?1 1()111111!!!()kT ATkkkkkAT ATeEkT A TEkAE T TkT e T??????????????????? ???????? 這就是本文所需要證明的。在本節(jié)，會闡明矩陣指數(shù)函數(shù)與常系數(shù)線性微分方程的基解矩陣的關(guān)系（即定理 ），并對此關(guān)系進行證明。且 (0) E??. 證明 有定義易知 (0) E??.（ ）對 t 求導(dǎo)，我們得到 2 3 2 139。1 ! 2 ! ( 1 ) !()AtkkAtteA t A t A tAkAeAt?? ? ? ? ??? ? ? ??? ????? 這就表明， ()t? 是（ ）的解矩陣。 因 此 (1)? 是（ ）的基解矩陣。 根據(jù)定理 ，我們能夠使用此基解矩陣得知（ ）的解 ()t? 全擁有以下形式 ( ) ( )Att e c? ? （ ） 這里 c 是一個常數(shù)向量。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 在上 一章矩陣指數(shù)中我們從求解常系數(shù)線性微分方程組的過程中認識到了矩陣指數(shù)的概念，并且了解到了（ ）就是就是常系數(shù)微分方程組的基解矩陣。 0 , 1 , 2 , . . . , 1 )k iif i s k d? ? ? ? 它的值是確定值．如果 ()p? 是一個多項式，同時符合 ( ) ( )( ) ( ) , ( 1 , 2 , . . . , 。 定理 設(shè) nnAC?? ，在這里矩陣 A 的譜 ()fx半徑為 ? ，如果函數(shù) ()fx的冪級數(shù)的表示式是 0()kkkf x c x x ??????， 則當 ???? 時 0()kkkf A c A???? 根據(jù)定理 可以推出很多關(guān)于矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示式，列舉其中 3 個 2112 ! !Ane E A A An? ? ? ? ???? ? ???； 3 5 2 11 1 1sin ( 1 )3! 5 ! ( 2 1 ) !nnA A A A An ?? ? ? ??? ? ? ? ????。 矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 若把矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 中 A 換為 11? 矩陣，會發(fā)現(xiàn)，此時矩陣指數(shù)函數(shù)便變成了指數(shù)函數(shù)，作為基本函數(shù)之一的指數(shù)函數(shù)，同時也作為特殊的矩陣指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在矩陣指數(shù)函數(shù)中是否可以應(yīng)用，接下來，本文將會以此對矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一一列舉出來，并進行論證。 （ 7）設(shè)定 B 是 Hermite 正定矩陣，那么有唯一 Hermite 矩陣 Q ，使 QBe? 。 （ 4）矩陣指數(shù)函數(shù)滿足 0eE? ，根據(jù) (1)得 ()A A A Ae e e E? ? ??? 故 1()AAee??? （ 5） 矩陣指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)表示式對于給定矩陣 A 和對所有 t 都是絕對收斂的，同時滿足對所有的 t 都是一致收斂，因此 01100()!( 1) !!!kkAtkkkkIIIIIIAtAtd d A tedt dt kkA tkAtAIAtAIAeeA???????????? ?????????? ?????????? （ 6）設(shè) 1112( , , , )rA P J P P d ia g J J J P??? ? ???，在這里 J 為 A 的 Jordan 標 準型，則 12 1( , , , )iJJJAe P diag e e e P ?? ???， 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 14 1112 ! ( 1 ) !i i i iiiiiiiiJdde e e edeeeee? ? ? ????????????? ??????， 所以 12121 1 2 21 1 2 21d e t d e t d e t( ( , , , ) ) d e t( )d e t d e t d e tirrrrJJJAJJ Jrd d dd d dtr Ae P d ia g e e e Pe e ee e eee? ? ?? ? ??? ? ????? ???? ???? ????? （ 7） 因 B 是正定的 Hermite 陣，其特征值均為正數(shù)。 接下來研究的問題 是：如果一個非正規(guī)的 矩陣 A 符合式 ()的條件，那么這個天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 矩陣 A 擁有什么樣的結(jié)構(gòu)呢 ?為了研究此問題，需要提前證明一個引理 引理 1 設(shè) nnAC?? ， ()fz為一個復(fù)值函數(shù)，定義域 fDC? ．矩陣方程 ()f X A?能夠求解的充分必要的條件為：對任何 ()aA?? ，總存在 fzD? ，使得 ()f z a? 。 1 , 2 , ... ,k k t kX M C k r i t? ? ? ? ?1( ) ( ) , . . . , ( ) , 1kk k k k t kf X d ia g J a J a k r? ? ? 從而有 ? ? 112( ) ( ) , ( ) . . . , ( )X x r xf J P d ia g f X f X f X P ?? ()AXJ f J? 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 16 故知 ? ?11112()( ) , ( ) .. ., ( )A A A A X A rA P J P P f J PP d iag f X f X f X P?????? () 若令 ? ?12, , ..., rX diag X X X? ，則 ()A f X? 式 ()中 AXP PP? . 定理 設(shè) nnAC?? ，式 (7)成立的充要條件是：存在酉矩陣 nnQC?? ，使得 ? ? 112, , ..., sA Q diag A A A Q ?? () 式中： ,1tA t s?? 是可以對角化的矩陣． 證明 必要性． 設(shè)式 (7)成立， Ae 是正規(guī)矩陣，存在酉矩陣 Q ，使得 AHe QTQ? （ ） 式中： ? ?? ?1 1 2 212, , ..., , ..., ( ) , ( )n n s nss nj njT diag I I Idiag T T T T I M C? ? ????? ? ? 是單位陣， 11,njjj s n n?? ? ??。 天津科技大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 17 4 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算方法 矩陣指數(shù)函數(shù)的一般計算方法 矩陣指數(shù)函數(shù)的計算，即 Ate 的計算有很多種計算方法。本文在本節(jié)會提到的三種方法，此三種方法并沒確定 A 矩陣，因此對矩陣 A 并沒有特殊的要求，即矩陣 A 并不是特殊矩陣。 當 dD dt? 時，矩陣指數(shù)函數(shù) Ate 的每個元素都滿足 n 階線性微分方程 ( ) 0c Dy? ， 并且 () Atte??是 n 階矩陣線性微分方程 ( ) ( 1 )1 1 039。( 0) ,