【正文】 作用 是 代表 線性變換，即是 像 f(x)、 4x之類的 關(guān)于 線性函數(shù)的 推論 。 到了 19世紀(jì) 90 年代， 梅茨勒（ Metzler） 首先提出 了矩陣函數(shù)的 基本 概念 ，最后找到用 冪級(jí)數(shù)形式將 表示 矩陣的 方法，這些對(duì)矩陣的發(fā)展意義重大。除此之外，英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley） 也 給出了方陣的特征根（特征值） ，還有其他許多結(jié)論。事實(shí)上最早的矩陣是從對(duì)大量行列式的研究中分離出來(lái)的，因?yàn)楹托辛惺綄?duì)應(yīng)的方陣本身就可以做許多的研究和運(yùn)用， 隨著對(duì)行列式研究的深入，矩陣的許多知識(shí)點(diǎn)也日漸完善。這些我們現(xiàn)在能看到的關(guān)于矩陣的一切都是由無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家的摸索得來(lái)的。 現(xiàn)在對(duì)于我們來(lái)說(shuō)非常熟悉的 矩陣和行列式，它們的概念是非常的不一樣的。但是當(dāng)時(shí)我們能知道的矩陣知識(shí)非常的少，雖然過(guò)去的標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)在的矩陣在表示上已經(jīng)非常的類似了，但這兩者都是以線性方程為基本標(biāo)準(zhǔn)。天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 1 矩陣函數(shù)以及應(yīng)用畢業(yè)設(shè)計(jì) 1 緒論 矩陣（ Matrix）的發(fā)展與歷史 人們對(duì)矩陣 （ Matrix） 的研究歷史非常悠久，在很久以前就已經(jīng)有人研究過(guò)了幻方和拉丁方陣 。 在計(jì)算的過(guò)程中經(jīng)常使用矩陣的初等變換進(jìn)行 消元，具體說(shuō)就是通過(guò)一些計(jì)算技巧將前面給出的增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)型。在這種情況下，矩陣應(yīng)運(yùn)而生。 矩陣都有自身的行和列，水平的稱之為行，豎直的稱之為列。 在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中 矩陣 理 論的創(chuàng)立者被 一致認(rèn)為 是英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊（ Cayley）， 是 他 最先 將矩陣作為一個(gè) 單獨(dú) 的數(shù)學(xué) 上的 概念提出 來(lái) ，并且關(guān)于矩陣的很多學(xué)術(shù)論文和著作都是他最早發(fā)表的。 本文定義了矩陣相等、矩陣的算法、矩陣的轉(zhuǎn)置和基本概念，如矩陣的逆矩陣的加法，給出了系列，互換性和約束力。 在 19世紀(jì) 50 年代 ，約丹 經(jīng)過(guò)潛心研究 首先發(fā) 表 了把一般矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型 矩陣 的方法。 矩陣最大的用途就 是在實(shí)踐中 解 用常規(guī)方法難以求解的 方程 。矩陣在很多方面都有重要應(yīng)用，例如數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，力學(xué)、物理學(xué)、工程數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理方面都有矩陣的出現(xiàn)。在文章的第一部分，總結(jié)了矩陣函數(shù)所必須的基礎(chǔ)知識(shí)，主要包括代數(shù)學(xué)多項(xiàng)式理論、行列式與矩陣等方面的一些結(jié)論以及數(shù)學(xué)分析中冪級(jí)數(shù)的若干法則?？梢愿鶕?jù)計(jì)算過(guò)程中遇到的實(shí)際情形加以選擇，將會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大方便。如果 V 是非空的集合， P 是數(shù)域。 級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù)知識(shí)是 分析科學(xué) 中一個(gè)重要的部分；這個(gè)概念經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其他分支。如果當(dāng) n?? 時(shí)， 數(shù)列 極限 nS 有 S ，級(jí)數(shù)就是收斂的，否則就是發(fā)散的。 冪級(jí)數(shù) 與多項(xiàng)式 形式 非常接近 ，在 許多方面有相似的特征 ，可以被 視為 “ 無(wú)限的 多項(xiàng)式 ” 。 0zMz? ， 39。（ B 必須為對(duì)稱陣）狹義定義：一個(gè) n 階的實(shí)對(duì)稱矩陣 M 是正定的 當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)于所有的非零實(shí)系數(shù) 向量 z ，都有 39。 線性算子 線性算子， 有數(shù)學(xué)運(yùn)算各領(lǐng)域的 線性性質(zhì)（如線性變換，線性代數(shù)理論的微分方程，積分方程理論，微分，積分，積分變換）的抽象概括。反對(duì)稱矩陣的定義為： TAA?? (A 的轉(zhuǎn)置前加負(fù) )它的首行與首列各元素絕對(duì)值相等，符號(hào)相反。下面通過(guò)數(shù)學(xué)式子將其表示出來(lái)。不收斂的矩陣級(jí)數(shù)稱為發(fā)散的 . 定義 2：設(shè) nnAC?? ，形如 20 1 20 kkk c A c I c A c A c A?? ? ? ? ? ? ?? 的矩陣級(jí)數(shù)稱為矩陣冪級(jí)數(shù) . 1相似矩陣 設(shè) ,AB是 n 階矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P 使 1B P AP?? ,則稱矩陣 A與 B 相似的，記為 。對(duì)角線上的元素可以 是 0或 任何 其他值。矩陣函數(shù)的定義方式有很多種，為了便于進(jìn)一步的研究，本文主要從經(jīng)常使用的多項(xiàng)式和冪級(jí)數(shù)來(lái)定義矩陣函數(shù)。 證 由 ??fz為實(shí)函數(shù)， A是實(shí)對(duì)稱矩陣，根據(jù)性質(zhì) 8知， ? ?fA是實(shí)對(duì)稱矩陣，又因?yàn)? ?fA的特征值為 ? ? ? ?0 1, 2 , ,if i n? ?? …，其中 ? ?1, 2, ,i in? ? … 是 A 的特征值，所以 ? ?fA是正定矩陣。 經(jīng)常使用 的矩陣函數(shù)有矩陣的指數(shù)函數(shù)和矩陣的三角函數(shù)。 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 8 矩陣指數(shù)函數(shù) Ae 的基本性質(zhì)： (1)若 AB BA? ，則 A B B A A Be e e e e ???。在實(shí)際中，經(jīng)常需要求含參數(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)。矩陣 函數(shù)的計(jì)算方法雖然多種多樣，但是想通過(guò)定義求解矩陣函數(shù)的過(guò)程很困難。在前一章中通過(guò)利用收斂矩陣冪級(jí)數(shù)的和定義了矩陣函數(shù) ()fA,在具體應(yīng)用中，需要求出 ()fA所代表的具體矩陣，即求出矩陣函數(shù)的具體值。 根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)體系，任何一個(gè)方陣的伴隨矩陣其實(shí)是一個(gè)和矩陣 逆矩陣 相似的概念。即 ， 就 叫做元 的代數(shù)余子式）注意：前面求得的 是一個(gè)具體的數(shù)而不是一個(gè)矩陣。對(duì)于非空集合 R，如果定義了兩種代數(shù) 運(yùn)算 +和 *（不一定就是代數(shù)中加法與乘法的含義），并且滿足下面的條件： 1）集合 R 在運(yùn)算 +下能組成 阿貝爾群 （ Abel）。 我們清楚， ][?P 中的元素能進(jìn)行加或者減或者乘三種計(jì)算，并且它們的計(jì)算和數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是相同的 .矩陣的加法和乘法的定義中使用的元素的加法和乘法，所以它可以類似地定義 ?? 矩陣的加法和乘法，和數(shù)字矩陣運(yùn)算的 算法規(guī)則相同。為了告訴概念清晰的對(duì)角化矩陣，首先簡(jiǎn)要說(shuō)明相似矩陣的概念。 可逆矩陣是線性代數(shù)中經(jīng)常用到的一種矩陣，它在線性代數(shù)中的定義為給定一個(gè) n 階的方陣 A ，如果存在一個(gè) n 階方陣 B ， 使得 nAB BA I??（或 nABI? 、 nBA I? 任意滿足一個(gè)），其中 nI為 n 階單位矩陣，則稱 A 是可逆的，且 B 是 A 的逆陣，記 作 1A? 。如果 T 是能將 nR映射到 mR 的一個(gè)線性變換， 并且 x 是 有 n 個(gè)元素的 列向量 ，那么我們就可以將 m n 的矩天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 14 陣 A ，叫作 T 的變換矩陣。當(dāng)然矩陣中還有些比較特殊的矩陣，因?yàn)樗麄兊奶厥庑钥梢詫⒂?jì)算簡(jiǎn)化。則 ? ?? ?? ?? ?1122mmmmssfAAfAAf A AfAA????????? ? ????? ?? (2矩陣函數(shù)為矩陣多項(xiàng)式 ? ? 20 1 2 + nnf A a I a A a A a A? ? ? ? … 因?yàn)?? ?fA是幾個(gè)矩陣指數(shù)函數(shù)的線性組合，它仍然可以作為（ 1）中的計(jì)算方法。 利用待定系數(shù)法求矩陣函數(shù) （ 化零多項(xiàng)式法 ） 從上面的介紹可以知道求矩陣函數(shù)通過(guò)求矩陣 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式的方法是非常復(fù)雜的，它要求 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形式及變換矩陣，這個(gè)過(guò)程很繁瑣。初等因子，不變因子的概念見(jiàn)引用文獻(xiàn) [10]中的定義 3，定義 4，這里不再介紹。 例 設(shè)矩陣0 1 00 0 12 3 0A?????????,求 Ate 解 由于特征多項(xiàng)式 ? ? ? ?? ? 221IA? ? ? ? ?? ? ? ? ?，易算出 ? ?? ?21????不是 A的零化多項(xiàng)式，故 A的最小多項(xiàng)式 ? ?m??為 ? ? ? ? ? ?? ? 221m? ? ? ? ? ?? ? ? ?，于是設(shè) ??g? 為 2次多項(xiàng)天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 19 式，即 ? ? 20 1 2g a a a? ? ?? ? ?，由于 ? ? Atfe? ? ，且 1 2?? 是單根， 2 1??? 是二重根，故有 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1122fgfg?????????? ? ? ?? 即 20 1 20 1 212242ttte a a ae a a ate a a??? ? ? ??? ? ??? ??? 解得 ? ?? ?? ?2021221 8691 2 2 391 39t t tt t tt t ta e e tea e e tea e e te??????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? 從而得 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?20 1 22 2 22 2 22 2 28 6 2 2 3 1 31 2 6 4 5 3 2 2 394 4 6 8 3 8 4 5 3Att t t t t tt t t t t tt t t t t te f A g Aa I a A a Ae t e e t e e t eae t e e t e e t ee t e e t e e t e? ? ?? ? ?? ? ????? ?? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 四種方法的比較 為了將問(wèn)題 說(shuō)明清楚，這里將幾個(gè)基本概念回顧一下。三個(gè)方面的初等變換大同小異。如果把前面定義中的“行”換成“列”，得到的就是矩陣的初等列變換的定義。第一，第三和第四種方法中使用的數(shù)學(xué)原理和方法比較多，明顯地比第二種方法計(jì)算量少，它們的計(jì) 算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，但要明白為什么要這么做，還需要清楚地理解里面運(yùn)用的一些定理和方法。本文在這里 簡(jiǎn)單介紹矩陣函數(shù)的一些實(shí)際應(yīng)用，主要以在 現(xiàn)代控制理論中的應(yīng)用為例進(jìn)行闡述 。因此，現(xiàn)代控制理論中的矩陣?yán)碚摵途仃嚭瘮?shù)的知識(shí)具有重要作用。通過(guò)矩陣函數(shù)定義的解決線性控制中的問(wèn)題是使用鑲嵌技術(shù)獲得期望矩陣的傳遞函數(shù)。 在 20世紀(jì) 60年代左右，關(guān)于線性系統(tǒng)的理論經(jīng)歷了從最開(kāi)始的古典階段到現(xiàn)代階段的重要時(shí)期，其中最具代表性的事是卡爾曼第一次完整地在系統(tǒng)和控制的理論中引進(jìn)了狀態(tài)空間的方 法。在前面介紹的可控制性和可觀測(cè)性，對(duì)于線性系統(tǒng)的進(jìn)一步研究和整合在根本的指導(dǎo)規(guī)則方面都產(chǎn) 生了重大影響。就在此時(shí)，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展和完善，對(duì)于線性系統(tǒng)中的研究和整合中出現(xiàn)的的計(jì)算難題，以及使用計(jì)算機(jī)對(duì)線性的體 系進(jìn)行輔助性的剖析和輔助性的設(shè)計(jì)，也都得到了廣泛和充分的研究。可控制性描述的是狀態(tài)的控制力，可觀測(cè)性描述的是狀態(tài)的觀測(cè)力， 這兩條性質(zhì) 給出了兩個(gè)最基本的控制系統(tǒng)存在的問(wèn)題。 (2)如果在 [0t ， 1t ]內(nèi)，能找到控制 ()ut 使系統(tǒng)從狀態(tài)空間原點(diǎn)推向預(yù)先指定的狀態(tài)1()xt ，則稱為狀態(tài)能達(dá)性；因?yàn)槿魏芜B續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移形成的都是非奇異的矩陣，所以能說(shuō)某種程度上系統(tǒng)能達(dá)性就是系統(tǒng)的能控 性。 (4)當(dāng)系統(tǒng)有不依附于 )(tu 的確定性干擾 )(tf 時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)方程可以表示為 )(tfBuAxx ???? )0()( 0 xtx ? 因?yàn)?)(tf 是一個(gè)確定性的干擾，它不會(huì)改變系統(tǒng)的可控性。那么線性定常系統(tǒng)就變?yōu)? 天津科技大學(xué) 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì) 23 （ 4）若系統(tǒng)存在確定性干擾信號(hào) )(tf ，即 )(tfBuAxx ???? Cxy ? 因?yàn)?)0(x 與 )(tu 、 )(tf 獨(dú)立， 因此在系統(tǒng)的可觀測(cè)性研究是不考慮 )(tf 的影響?？捎^測(cè)性是系統(tǒng)輸入與輸出的充分反映系統(tǒng)問(wèn)題的狀態(tài)。可控性矩陣 Qk=[B AB A2B … An 1B]滿秩。滿秩 矩陣（ nonsingular matrix） :設(shè) A 是 n階矩陣 , 如果 ()r A n? ,稱 A 為滿秩矩陣。 利用傳遞函數(shù)來(lái)判斷。傳遞 函數(shù) （ transfer function）是將兩個(gè)拉氏變換作除法。系統(tǒng)的律的微分方程是對(duì)應(yīng)的。它不僅是 最開(kāi)始出現(xiàn)的控制 的基本理論，而且在以單變量的頻域法為基礎(chǔ)的 現(xiàn)代控制理論 的成長(zhǎng)進(jìn)程中，它一直不斷完善才有了現(xiàn)在的多變量的頻域控制理論，為多變量控 制系統(tǒng)研究的有力工具。在 許多情況下，一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中運(yùn)算難度很大，但是對(duì)于一個(gè)拉普拉斯實(shí)變函數(shù)的變換，它能在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行各種各樣的數(shù)學(xué)操作，最后對(duì)前面求得的計(jì)算結(jié)果作一次拉氏反變換，就能最終求出它在實(shí)數(shù)領(lǐng)域的結(jié)果，這種方法在運(yùn)算上和直接求解相比，方便很多。其特點(diǎn)是直觀和簡(jiǎn)單的圖形方法來(lái)確定控制系統(tǒng)，運(yùn)行過(guò)程控制系統(tǒng)的分析，為控制體系進(jìn)行調(diào)試提供了可能。 對(duì)于復(fù)參數(shù) s ， 函數(shù)()( )* stf t e? 于 （ ∞ ， +∞ ） 的積分，稱為函數(shù) ()ft 的（雙邊） 拉普拉斯變換 ，簡(jiǎn)稱拉氏變換。了解了傳遞 函數(shù) 的概念后，就能夠已知輸入量求得到輸出量，也可以根據(jù)輸出量的要求得出輸入量。????????????????1::ngCACACQ 滿秩。記為： Pm+1， Pm+2，等等。當(dāng)方陣 A 是能對(duì)角化的矩陣時(shí)，這時(shí)約當(dāng)陣就是對(duì)角化矩陣。如果單輸入單輸出系統(tǒng) C（ SIA） 1B也沒(méi)有零極點(diǎn)相消，那么系統(tǒng)既是可控的也是可觀測(cè)的。頻域是坐標(biāo)系的一種，它是表示 信號(hào)