數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于和與積相等的矩陣對(duì)(文件)
【正文】 ???? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ? ??也是上三角矩陣，定理 2 得證 . 推論 1 設(shè)矩陣對(duì) ? ?,AB 滿足條件 M ，若 A 是 Hermite 矩陣，則 B 也是Hermite 矩陣，且存在 n 階酉矩陣 U ，使得 HUAU 和 HUBU 為對(duì)角矩陣 . 證明 因?yàn)?A 是 n 階 Hermite 矩陣，所以存在 n 階酉矩陣 U ，使得 6 ? ?* 12, nU A U dia g ? ? ?? ，由定理 1 中（ 2）可知， ? ?* 12, , , nU B U diag ? ? ?? 顯然， B 也是 Hermite 矩陣，且可同時(shí)對(duì)角化，推論 1 得證 . 推論 2 設(shè) A ,B 是滿足條件 M 的正規(guī)矩陣，則 A ? B ， AB ， AB? ， AB都是正規(guī)矩陣，且存在酉矩陣 U ，使得 HUAU 和 HUBU 為對(duì)角矩陣 . 推論 3 若矩陣對(duì) ? ?,AB 滿足條件 M ，則下列條件等價(jià)： (i) A 非奇異，（ ii） B 非奇異，（ iii） AB? 或 AB 非奇異，（ iv） AB? 非奇異 . 推論 4 設(shè) A ， B 是滿足條件 M 的正定（或半正定）矩陣，則 AB? ， AB ，AB? 及 AB都是正定（或半正定）矩陣 . 兩個(gè) Hermite 矩陣積與其特征值之間的關(guān)系問題有著名的 Neumann 不等式，兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣和的特征值關(guān)系問題有 Hoffman— wielandt 定理，故由引理 3，引理 4 及推論 1 和 4，有 推論 5 設(shè) A ， B 是滿足條件 M 的正定矩陣，則對(duì)任意正整數(shù) k ，有? ?( ) ( ) kktr AB tr AB? . 推論 6 若 A ， B 是滿足條件 M 的 Hermite 陣，設(shè) i? 為 A 的特征值，則1ii i?? ?? ?為 B 的特征值， i i i i? ? ???? ? ?1,2, ,in? 為 AB? 和 AB 的全體特征值 . 2 滿足 ABBA ?? 的矩陣對(duì)的一些性質(zhì) 性質(zhì) 1 如果 ABBA ?? ，則有 （ 1） ABAB mm ? ， kkk BAAB ?)( ， ll BABA ? ， klm, 均為正整數(shù)； （ 2） ABfBAf )()( ? ，其中 )(Bf 是 B 的多項(xiàng)式，即 A 與 B 的多項(xiàng)式可交換； （ 3） ))(( 121 ??? ?????? mmmmm BBAABABA ? ))(( 121 BABBAA mmm ????? ??? ?， m 為整數(shù)； （ 4） ????? mkkkmkmm BACBA0)(（矩陣二項(xiàng)式定理）， m 為整數(shù)； 7 （ 5） ???? mkkkmkmm BACAB0)(， m 為整數(shù)； 性質(zhì) 2 （ 1）若 ABBA ?? 且 A 是可逆的，則 1A? , B 可交換； （ 2）若 ABBA ?? 且 B 是可逆的，則 1B? , A 可交換 . 性質(zhì) 3 （ 1）若 ABBA ?? 且 A 是正交陣，則 TA , B 可交換； （ 2）若 ABBA ?? 且 B 是正交陣，則 TB , A 可交換 . 3 主要結(jié)論及證明 結(jié)論 1 A 是正定矩陣， A 、 B 都是對(duì)稱矩陣且滿足 A B AB?? ，則 AB 是正定矩陣的充要條件是 ? ? 0B? . 證明 因?yàn)?A B AB?? ，由引理 5 得 AB BA? . 從而易得 ? ?? ? ? ? ? ?11T TA B B A A B B A???， 而 ? ?B? 為實(shí)數(shù)，由定理 1 即得結(jié)論 . 結(jié)論 2 矩陣 A ， B 為滿足條件 A B AB?? 的 n 階 Hermite 陣，且 0AB? ， 則 ? ? ? ?? ? 22tr ABrank AB tr AB????? . 上述等式成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)具有標(biāo)準(zhǔn)正交列的矩陣 ? ?1,r n rU u u M??和某個(gè) R?? 使得 HAB UU?? .
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