【正文】 的 n 階方陣，即主對(duì) 角線以外的元素都是零的方陣稱為對(duì)角矩陣或?qū)欠疥?，記? 1212( , , , )nnaadi ag a a aa????? ? ?????. 特別當(dāng) aaaa nn ???? ?2211 時(shí)，這時(shí)的對(duì)角矩陣叫做 n 階數(shù)量矩陣 . 當(dāng) 12211 ???? nnaaa ? 時(shí)，這時(shí)的數(shù)量矩陣叫做 n 階單位矩陣，記作 nE 或 nI ，在階數(shù)不致混淆時(shí)，簡(jiǎn)記為 E 或 I ，即?????????????100010001??????nI . 主對(duì)角線下方的元素都是零的方陣 ????????????nnnnaaaaaa??????000 22211211 叫做上三角矩陣 . 主對(duì)角線上方的元素都是零的方陣 ????????????nnnn aaaaaa??????21222111000 叫做下三角矩陣 .[2] 矩陣的性質(zhì) 性質(zhì) 1 矩陣的加法運(yùn)算具有以下運(yùn)算規(guī)律： )1( 加法交換律 ABBA ??? ； )2( 加法的結(jié)合律 )()( CBACBA ????? ； )3( AAOOA ???? ， 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 6 其中 A ， B ， C 都是 nm? 矩陣 . 性質(zhì) 2 矩陣數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律： )1( )()( kAllAkA ?? ； )2( kBkABAk ??? )( ； )3( lAkAAlk ??? )( ， 其中 A ， B 都是 nm? 矩陣， k ， l 為任意實(shí)數(shù) . 性質(zhì) 3 矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)： )1( 結(jié)合律 )()( BCACAB ? ； )2( 分配律 ACABCBA ??? )( ， BCACCBA ??? )( ； )3( 數(shù)與乘法的結(jié)合律 )()()( ABkkBABkA ?? ； )4( 當(dāng) A ， B 均為 n 階方陣時(shí)，有 BAAB? ； )5( TTT ABAB ?)( ； )6( ))(),(m in ()( BrArABr ? .[3] 性質(zhì) 4 矩陣乘法不滿足交換律： 例 1 已知 ??????? 00 01A， ??????? 01 00B.求 AB 和 BA . 解 ???????????????????? 00 0001 0000 01AB， ???????????????????? 01 0000 0101 00BA. 逆矩陣的定義與性質(zhì) 逆矩陣的定義 定義 設(shè) A 為 n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 B ，使得 IBAAB ?? 成立，那么矩陣 A 稱為可逆矩陣，此時(shí)矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣，簡(jiǎn)稱為矩陣 A 的逆 .如果 A 的逆矩陣不存在，那么 A 稱為不可逆矩陣 . A 的逆矩陣記作 1?A ，即如果 IBAAB ?? ，那么 1??AB . 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 7 逆矩陣的性質(zhì) 性質(zhì) 1 如果矩陣 A 可逆的，那么 A 的逆矩陣是唯一的 . 證明 設(shè) B ， C 都是 A 的逆矩陣，那么有 CICCBAACBBIB ????? )()( ， 所以 A 的逆矩 陣是唯一的 . 性質(zhì) 2 如果 A 可逆，那么 1?A 可逆，且 AA ??? 11)( . 性質(zhì) 3 如果 A 可逆，數(shù) 0?? ，那么 A? 可逆，且 11 1)( ?? ? AA ?? . 性質(zhì) 4 如果 A 可逆，那么 TA 可逆，且 TT AA )()( 11 ?? ? . 性質(zhì) 5 如果 A ， B 都是 n 階可逆矩陣，那么 AB 可逆，且 111)( ??? ? ABAB . 證明 因?yàn)? IAAA I AABBAABAB ???? ?????? 111111 )())(( IBBIBBBAABABAB ???? ?????? 111111 )())(( 所以 AB 可逆，且 111)( ??? ? ABAB .[4] 3 逆矩陣的求法 用定義求逆矩陣 設(shè) A 是一個(gè) n 階矩陣，如果存在 n 階矩陣 A ，使 AB BA I??，則稱 A 矩陣是可逆矩陣，并稱 B 是 A 的逆矩陣 .[5] 例 2 已知 n 階矩陣 A 滿足 IAA ??2 ，證明 IA2? 可逆，并求出它的逆矩陣1)2( ?? IA . 證 由 022 ??? IAA ，得 04)2)(3( ???? IIAIA ，則 04)3)(2( ???? IIAIA ，即IIAIA ???? )]3(41)[2( 且 IIAIA ???? )2)](3(41[ ，由定義可知， IA2? 可逆且)3(41)2( 1 IAIA ???? ? . 南京師范大學(xué)泰州學(xué)院本科畢業(yè)論文 8 用伴隨矩陣求逆矩陣 設(shè) A 是 n 階矩陣，稱矩陣11 21 112 22 212nnn n nnA A AA A AA A A????????稱為 A 的伴隨矩陣，記作 *A ，其中 ijA是 A 中元素 ija 的代數(shù)余子式，即11 21 112 22 2*12nnn n nnA A AA A AAA A A?????????. 定理 n 階矩陣 A 可逆的充要條件是 0A? ，且在 A 可逆時(shí)， 1*1AAA? ?. 這種求逆矩陣的方法稱為伴隨矩陣法 .該法主要用于逆矩陣或伴隨矩陣的理論推導(dǎo)上，但對(duì)于階數(shù)較低（一般不超過(guò) 3）或元素的代數(shù)余子書式易于計(jì)算的矩陣可 用此法求其逆矩陣 .使用伴隨矩陣法求逆矩陣時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： )1( 準(zhǔn)確地算出 *A .注意 *A 的第 i 行元素依次是矩陣 A 的第 i 列元素的代數(shù)余子式 . )2( ijA 是 ija 的代數(shù)余子式，不是余子式，且 ijjiij MA ??? )1( ，因此計(jì)算時(shí)千萬(wàn)不要遺漏代數(shù)符號(hào) ji??)1( . 此定理不僅給出了方陣可逆的條件，同時(shí)也給出了求逆矩陣的公式 .[6] 例 3 判定矩陣???????????323222321A 是否可逆，若可逆，求 1?A . 解 因?yàn)?04???A ，所以 A 可逆，又 211?A ， 012?A ， 213 ??A ， 021?A ， 622 ??A ， 423?A ， 231 ??A ， 432?A ， 233 ??A 所以???????????????