冪零矩陣的性質及應用畢業(yè)論文(文件)
【正文】 冪零矩陣，,使得，因為 所以，均為冪零矩陣。 冪零矩陣的充分必要條件 (哈密頓凱萊定理)設是階方陣,的特征多項式設為，則,則有， 設，為階方陣，則 為冪零矩陣的充分必要是的特征值全為0。借助這個結論，要證明冪零矩陣的伴隨矩陣還是冪零矩陣就很方便了，證明如下：由這個充要條件，可以得出以下的幾個推論： 設是階冪零矩陣，則為冪零矩陣。 若為冪零矩陣,則一定有 成立證明： 由性質1得的特征值,所以的特征值分別是 , ,且有 ,.即 . 若為冪零矩陣，則非退化證明：令為的特征值.若退化,則有,所以至少存在為的特征值,從而有為的一特征值,這與為冪零矩陣相矛盾,得證為非退化. 一個階冪零矩陣的特征多項式，從而它只有一個特征值零。 相似于對角形的冪零矩陣是零矩陣證明：設為冪零矩陣，則,使得，又設與對角形相似，且令 易知，則存在可逆矩陣,使，又與相似，則有，則，因此，所以。證明類似如上 冪零矩陣的運算性質（在矩陣中存在一些運算性質，冪零矩陣也不例外，而且這些運算性質在應用中也起到很重要的結論，其運算性質如下） 若為冪零矩陣且，則有（1）（2）證明：（1） 即 （2）由（1）類似可得 任意，則 冪零矩陣與對角矩陣 設是階冪零矩陣，則必存在可逆矩陣，使得，其中階數為且，為的特征值（可能有相同），稱這樣的為的若爾當標準形式。 階若爾當塊的最小多項式為，且有。 設為冪零矩陣，且，那么與對角矩陣不相似。顯然當時即為所定義的冪零矩陣。 階冪零矩陣的冪零指數小于等于，且冪零指數等于其若爾當形矩陣中階數最高的若爾當塊的階數.證明：令為冪零矩陣，存在可逆矩陣,使得，其中 階數為,且，取，則且有 （1）即若為的冪零指數，則，若，則，且由（1）式可得這與矛盾，故，得證。解：由引理，其中 且有 由性質知， ，求解：令，其中 ，且，由性質知例4. ，求解： 其中，且由性質知 學習了上面給出的有關冪零矩陣的性質
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