冪零矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用畢業(yè)論文-閱讀頁
2025-07-05 06:07本頁面
【正文】 明： 為冪零矩陣，由性質(zhì)1，知：的特征值全為0 即則的特征值為從而有 由已知， （1）令為的不為0的特征值且互不相同重數(shù)為由（1）式得方程組 （2）由于方程組（）的系數(shù)行列式為又互不相同且不為0， 從而知，方程（2）只有0解，即 即沒有非零的特征值的特征值全為0， 由性質(zhì)1，得為冪零矩陣，得證。證明： 設(shè)的一個特征值（一般為復(fù)數(shù)），則存在中非零列向量，使 ，因，故必，于是的特征多項式的根全為零，因而。 設(shè)，為階方陣，則 所有指數(shù)為的冪零矩陣彼此相似證明：因為階冪零矩陣，其指數(shù)為，則當時，所以的最小多項式又為冪零矩陣，由性質(zhì)1，的特征值全為0因此的特征多項式所以又因為從而有，故所有階次冪零矩陣具有相同的不變因子為 ，得證。 若為階嚴格上三角矩陣，則是冪零矩陣。注：顯然對于嚴格的下三角矩陣也是冪零矩陣。每一個階的復(fù)矩陣都與一若當形矩陣相似。 階復(fù)矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項式無重根。顯然當時即為所定義的冪零矩陣。因為為階方陣，由引理可知在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣T，使得 其中階數(shù)為令階數(shù)為則有階數(shù)為那么有，由定義得為冪零矩陣現(xiàn)令 即又為對角陣， 則上式可對角化令 ，取，則有即有可對角化且為冪零矩陣，得證。證明：用反證法，設(shè)與對角矩陣相似，那么一定存在可逆矩陣,使得,這樣的對角線上的元素就是的特征值，又的特征值全為0，從而 因此,與題設(shè)矛盾。 冪零矩陣與若爾當塊 每一個階冪零矩陣都與一個形如的矩陣相似，每一個是一個階冪零若爾當塊 階若爾當塊的最小多項式為，且有。 若為冪零矩陣,則的若爾當標準形的若爾當塊為冪零若爾當塊,且的主對角線上的元素為0.證明：為冪零矩陣,可知的特征值全為0。所以有 ,則為冪零矩陣,其冪零指數(shù)為,且的主對角線上的元素為0.通過以上冪零矩陣與若爾當塊的密切聯(lián)系，可以用它們的關(guān)系來推得以下這個推論。4. 應(yīng)用 冪零矩陣在矩陣運算性質(zhì)中的應(yīng)用求矩陣的逆 對于求矩陣的逆，我們也學(xué)習(xí)過有幾種方法，通過冪零矩陣來求得一個矩陣的逆是學(xué)習(xí)冪零矩陣運算性質(zhì)上的應(yīng)用。,求。簡單的給出如下幾個矩陣：例5. 解：由，易知,從而，由性質(zhì)知為冪零矩陣。事實上例7. ，為階方陣，為冪零矩陣且，則有證明：由引理，在復(fù)數(shù)域上，存在可逆矩陣，使得 又為冪零矩陣 所以的特征值全為0，即又可逆，則，由知為的特征值則 故例8. ，為階方陣，且,證明：存在自然數(shù)，使得證明：由于 故故為冪零矩陣由性質(zhì)知 ，使得，
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