淺析凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用畢業(yè)論文-閱讀頁
2025-07-10 17:29本頁面
【正文】 . 將分劃無限分細,令 同理有 利用凸函數(shù)證明不等式已經(jīng)有了許多結(jié)果,我們所做的就是由定理4證明了不等式，并且利用不等式證明了幾個復(fù)雜的不等式.例8 設(shè) 證明 證明 由于函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，由凸函數(shù)的性質(zhì)，即定理4 有 由于不可能同時相等，從而有 例 9 設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的凸函數(shù)，對于 則 證 明 由于,則由定理1中（4）式，有 即令,對上式兩邊求和，有 即 例 10 設(shè)及則有不等式成立： 當且僅當與成正比例時等號成立.證明 取=，因為，所以在上為凸函數(shù),由定理4得: 即 ， 亦即 令則有，于是有 令，則有 當與成正比例時，即 (為正常數(shù)，)當與不成正比例時，不全相等，又因為在為嚴格凸函數(shù)，故嚴格不等式成立.例11 設(shè)和 是兩組正數(shù)， .證明 . 證明 要證原不等式即要證明 . 令,則由于，所以為凹函數(shù)，由不等式 即得所證.例12 證明：.證明 設(shè)，則由于（用不等式） 所以 由于不等式中等號成立的條件是均為常數(shù),而，這實際上是不可能的，所以上式中的等號不成立. 例 13 證明不等式，其中均為正數(shù).證 明 設(shè),又因 , 所以 .例14應(yīng)用不等式證明：設(shè)，有 證明 取函數(shù), . 因為是區(qū)間上嚴格凹函數(shù)，則對及 1. ，則上式等號成立
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