數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文關(guān)于和與積相等的矩陣對(duì)(參考版)
2025-05-23 10:19本頁面
【正文】 Hermite matrix 0 前言 矩陣的和與乘積是矩陣的兩種 基本運(yùn)算，它們的特征值、秩、正定性等方面的關(guān)系問題 ,在理論上和實(shí)際應(yīng)用中都很有意義 ,例如 矩陣特征值與奇異值估計(jì)在矩陣計(jì)算、誤差分析中有著重要的應(yīng)用 , 因此對(duì)矩陣和與乘積的研究得到了許多學(xué)者的關(guān)注 .對(duì)于兩個(gè) n 階矩陣 A ,B 的乘積 ,一般主要研究它們的可交換性 ? ?BAAB? . 但事實(shí)上 , 矩陣對(duì) ? ?,AB ,它們的和與積相等 . 這對(duì)矩陣在矩陣的秩、特征值和特征向量、正定性、非奇異性等方面都有一些很密切的聯(lián)系 .通過對(duì)此題目的探討不僅可以加深對(duì)矩陣的進(jìn)一步了解同時(shí)也將所學(xué)知識(shí)與實(shí)際結(jié)合，更加深刻認(rèn)識(shí)特殊矩陣在實(shí)際中的重要應(yīng)用 .文中 nE 表示 n 階單位矩陣， ? ?rA為矩陣 A 的秩， TA 表示矩陣 A 的轉(zhuǎn)置， nnH? 為 n 階 Hermite 矩陣， 2 ? ?trA 為矩陣 A 的跡， HU 表示矩陣 U 的共軛轉(zhuǎn)置， AB? 和 AB分別為矩陣 A和 B 的 Kronecker 積和 Hadamard 積 . 以下用 M 表 示 集 合 ：? ?? ?, | , , nnA B A B A B A B C ?? ? ?，即 n 階矩陣對(duì) ? ?AB 符合條件 M . 如矩陣 2 3 11 1 11 5 3???????????和 2 1 11 2 0322?????????以及0 1 2 30 0 1 20 0 0 10 0 0 0????????和0 1 3 80 0 1 30 0 0 10 0 0 0? ? ????????????都是符合條件 M 的矩陣對(duì) . 1 引理及相關(guān)定理 定義 ??71 設(shè) nnAR?? 且 TAA? ，若 nnXR?? ? ?0 ，有 0TX AX ，則 A 為正定矩陣 . 定義 2 設(shè) nnAR?? ，若 TTA A AA? ，則稱 A 為規(guī)范矩陣 . 引理 ??71 若 A 是正定矩陣，則 ? ?Re 0A? . 引理 2 若 nnAR?? ， P 是非奇異矩陣，則 A 是正定矩陣的充要條件是 TPAP是正定矩陣 . 引理 ??73 A 是規(guī)范矩陣，若 ? ?Re 0A? ，則 A 是正定矩陣 . 引理 4 相似的矩陣有相同的特征值 . 引理 5 n 階矩陣 A ， B 符合條件 M 的充分必要條件是 AE? 和 BE? 互為逆矩陣；且若矩陣對(duì) ? ?,AB 符合條件 M ，則 AB BA? 及 ? ? ? ?r A r B? 證明 因?yàn)? ABBA ?? ? AB A B E E? ? ? ?? ? ?A B E? ? ? ?BE? ? E ? ? ?? ?A E B E E? ? ? ? ?? ?B E A E E? ? ? ?? B A BA?? .即 AB BA? . 又 AE? 和 BE? 互為逆矩陣，所以 ? ? ? ?r A E r B E? ? ?，故 ? ? ? ?r A r B? . 引理 6 若矩陣對(duì) ? ?,AB 符合條件 M ，則 存在 n 階非奇異矩陣 P 和 Q ，使得A PBQ? . 證明 由引理 1 顯然得證 . 3 引理 ??37 （ Hoffman— wieland 定理）設(shè) B C A??， A ， B ， C 均為 nn? 實(shí)對(duì)稱陣，它們的特征值分別為： 12 n? ? ?? ? ? ， 12 n? ? ?? ? ? ，12 n? ? ?? ? ? ，則 A ， B ， C 的特征 值之間有如下關(guān)系成立： ? ?2211nni i iii? ? ??????? 引理 ??28 （ Neumann 不等式） 設(shè) A ， B nnH?? 的特征值分別為 ? ?A? ， ? ?B? ，則 ? ? ? ? ? ? ? ?111 ()nni n i i iiiA B tr A B A B? ? ? ????????? （ 1） 設(shè) A ， B nnH?? 的奇異值分別為 ? ?A? ， ? ?B? ，則 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11Renni i i iiiA B tr A B A B? ? ? ???? ? ??? （ 2） 引理 ??109 設(shè) ? nM? 是交換族，那么存在一個(gè)酉陣 MU? ，使得對(duì)每個(gè)??A ， AUUH 是上三角的 . 定理 1 設(shè) A 、 B nnR?? ， A 是正定對(duì)稱矩陣， ? ?? ? ? ? ? ?11T TA B B A A B B A???，則 AB 是正定矩陣的充要條件是 ? ?Re 0B? . 證明 若 AB 是正定矩陣，由引理 2 知， 12 12A BA 是正定矩陣 ,由引理 1 得? ?Re 0B? .反之，若 ? ?Re 0B? ，則由引理 4 得 ? ?1 2 1 2R e 0A BA? . 因 ? ?? ? ? ? ? ?11T TA B B A A B B A??? 故 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2TTA B A A B A A B A A B A? 因此， 12 12A BA 是規(guī)范矩陣，由引理 3 知， 12 12A BA 是正定矩陣 .由引理 2 知 AB是正定矩陣 . 4 定理 2 若矩陣對(duì) ? ?,AB 符合條件 M ，則 （ 1）矩陣 A 和 B 的特征值均不為 1；若 ? 是 A 的特征值，則 B 對(duì)應(yīng)的特征 1??? ，A 和 B 有公共的特征向量系； （ 2） A 可以對(duì)角化的充分必要條件是 B 可以對(duì)角化，即 A ， B 可以同時(shí)對(duì)角化； （ 3）若 A 有 n 個(gè)不同的特征值，存在一個(gè)次數(shù)不超過 1n? 的多項(xiàng)式 ??fx使得? ?B f A? , 證明 （ 1）由引理 1， 0EA??， 0EB??，即 1 既不是 A 的特征值，也不是 B 的特征值 .設(shè) α 是矩陣 A 的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值是 ? ,則 ? 1? ，而A ??α α ,故 A B AB BA? ? ?α α α α, ? ?1 B????α α， 1B ??? ?α α ，所以 α 也是矩陣 B 的特征向量，對(duì)應(yīng)的特征值為 1??? ；若 β 是矩陣 B 的特征 向量，同理可證它也是 A 的特征向量 ,這說明 A 與 B 有公共的特征向量系 . (2) 只證必要性 .由 A 相似于對(duì)角矩陣 ,因而存在非奇異矩陣 P ,使? ?1 12, , , nP A P diag ? ? ?? ? , i? 為 A 的特征值 ,所以 ? ?12, , , nA P P dia g ? ? ?? 令? ?12, nP ? α α α則 i i iA ??α α , 1,2, ,in? ,iα 為 A 的特征向量 ,由 (1) 知 , iα也是矩陣 B 的特征向量 ,設(shè) i i iB ??α α , i? 為 B 的特征值 , 1,2, ,in? ,則? ? ? ? ? ?11 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,n n nP B P B d ia g ? ? ??? ??α α α α
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