【正文】 s of conditional dispersal, evolution can sometimes favor faster dispersal if that allows the population to track resources more efficiently [11,12,28]. These conclusions were obtained by considering models for two petitors that use different dispersal strategies but otherwise are ecologically identical, and examining the evolutionary stability of the strategies in terms of invasibility. (A strategy is considered evolutionarily stable if a population using that strategy cannot be invaded by a small population using a different strategy.) We plan to consider ideal free dispersal from that viewpoint in future work. To do that, we need to understand well the behavior of a single species using ideal free dispersal。對(duì)于無(wú)論是會(huì)導(dǎo)致整體存在還是 不會(huì)導(dǎo)致整體存在的模型類別的了解都會(huì)有助于提高對(duì)各種不同因素相關(guān)重要性的理解。 需要說(shuō)明的是，本文所得出的整體存在的結(jié)果對(duì)于模型的各個(gè)方面都有著許多限制 (例如一維條件，初始條件的形式等 )。 為了證明這個(gè)策略在進(jìn)化上式穩(wěn)定的，我們考察另一種物種就入侵而言演化的穩(wěn)定性。 定理 假設(shè) m(x), ? ? ? ?1,0,)(),( 200 ??? ? ??Cxvxu 則存在某個(gè) ? ???? ,0maxT ,使得問(wèn)題()存在唯一的解 (u,v)滿足 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?m a x22,2 ,0, TCtxvtxu ??? ?? ?? 進(jìn)一步，如果 ??maxT 則有 ? ? ? ? ??????Ltu ,當(dāng) maxTt? 證明： 該局部存在性結(jié)果是經(jīng)典結(jié)論，證明參見參考文獻(xiàn) [1][2] 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 14 我們?cè)噲D證明 ()的古典解在整個(gè)時(shí)間 ? ??,0 上存在 ，根據(jù)定理 (),只要證明 ()存在某個(gè)常數(shù) C0，使得對(duì)任何 T0,都有 ? ? ? ? CtuL ?? ??,對(duì) ? ?Tt ,0?? () 而 ()的證明是建立在一些引理的基礎(chǔ)上的。 我們假設(shè) ? 是正常數(shù)， ? 是非負(fù)常數(shù)。0。2 ,T TsrtxkQ Qr s ku D D u? ?? ?? ??? ??? 當(dāng) k 為奇數(shù)： ? ? 。s u p ( , )Txk Q ktu u t??? ? ???, ? ? ? ?。 。 supuu? ?? , ? ?。要做到這點(diǎn)，需要關(guān)于平衡的詳細(xì)知識(shí)。使用這種建模方法，在理想自由擴(kuò)散背景下，會(huì)導(dǎo)致一個(gè)系統(tǒng)形式 ? ? ),(),( vuxufvuxfuuu t ????????? ?? in ? ???? ,0 . ? ? ),(),( vuxvfvuxgvvv t ????????? ?? in ? ???? ,0 . () 無(wú)通量邊界條件 0),(),( ?? ??????? ????? n vuxgvnvn vuxfunu ???? on ? ????? ,0 , () 這里 f同 ()， g 代表替換的擴(kuò)散策略的一部分。 u(x,0)是連續(xù)的，非負(fù)的 ，不衡等零的。 ? 用來(lái)衡量種群向適應(yīng)性梯度移動(dòng)的傾向，用 f(x,u)表示。如果 m(x)被解釋為描述資源的分布，那么有 u=m+(x)意味著人口完全符合資源密度。這是合理的假設(shè)：評(píng)定適應(yīng)性梯度的過(guò)程，有瑕疵的梯度的跟蹤，和對(duì)其他環(huán)境方面的反應(yīng)可能造成一定量的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)。一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，支持平衡解，與這個(gè)在【 14】中被引入的構(gòu)想一致。)(184。對(duì)一個(gè)固定總?cè)丝跀?shù) U，種群的分布將由 u = ? _m(x)? F if m(x) F 。一個(gè)連續(xù)捕獲這些特點(diǎn)的模型在【 23】中被引進(jìn)。然而，同樣應(yīng)該被注意的是，在時(shí)間變化的模型中的系數(shù)或復(fù)雜的動(dòng)態(tài)，更快的無(wú)條件擴(kuò)散有時(shí)可能會(huì)更有利。這些結(jié)論考慮兩個(gè)競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的模型，它們采用不用的擴(kuò)散策略，但其他生態(tài)相同，并且考察就入侵而言演化的穩(wěn)定性。有條件擴(kuò)散是指受環(huán)境或其他生物的存在影響的。 我們分析的部分動(dòng)機(jī)是一種對(duì)理解在空間變化但時(shí)間不變的環(huán)境下演變的擴(kuò)散的興趣。我們將表明隨著比率向上層適應(yīng)性梯度移動(dòng)變得更大和或擴(kuò)散比率變小，這個(gè)生物的 擴(kuò)散被我們的模型預(yù)測(cè)接近于期望的理想自由棲息地的選擇。在本文中，我們將探討空間明確的種群模型 ,該模型與一個(gè)特定的模式，理想自由分布有關(guān)。 本文考慮了兩種完全相同的種群在相同的環(huán)境下采取不同的策略 —— 一種采取隨機(jī)自由擴(kuò)散策略，另一種采取具適應(yīng)性的擴(kuò)散策略 —— 競(jìng)爭(zhēng)演化模型，并證明其在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上的古典解的存在唯一性 。 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 1 具適應(yīng)性的人口疏散模型的整體解 摘要 在人口疏散中，采取怎樣的方式疏散 (擴(kuò)散 )人口更為有效是一個(gè)非常重要的問(wèn)題。對(duì)這些問(wèn)題的研究在生物學(xué)、社會(huì)學(xué)上有著廣泛的應(yīng)用。在這方面已經(jīng)作 出了相當(dāng)大的努力，利用空間模型來(lái)解決這些問(wèn)題。我們考慮一個(gè)在這個(gè)模型中同樣包括隨機(jī)擴(kuò)散的分布部分的變化。在【 19】中的分 析方法和問(wèn)題中，通過(guò)模型和分析解決問(wèn)題是兩種不同的方法 從以前那些文本中可以看出。純擴(kuò)散和與物質(zhì)的移流相關(guān)的擴(kuò)散（例如由于轉(zhuǎn)動(dòng)和流動(dòng)）都是無(wú)條件擴(kuò)散。但是，對(duì)于某些有條件的擴(kuò)散類型，演化又是能夠有利于更快的擴(kuò) 散如果他允許種群沿著資源更有效的方向擴(kuò)散。要做到這一點(diǎn)，我們需要理解一個(gè)單一種群使用理想自由擴(kuò)散的行為；發(fā)展這個(gè)理解是本 文的目標(biāo)；進(jìn)一步是的注意的是，導(dǎo)致了包含某些理想自由分布的特征的擴(kuò)散過(guò)程已經(jīng)被證明在離散擴(kuò)散模型中是進(jìn)化穩(wěn)定的，見【 10,25】。因此，在平衡水平上，在棲息地被占領(lǐng)的部分，所有生物將有相同的適應(yīng)性并且 這里講沒有個(gè)體的凈運(yùn)動(dòng)，種群是恒定的。 讓 F 表示生物在占用棲息地 Ω 的部分的適應(yīng)性。 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 6 。在簡(jiǎn)單情況下，他可能找到 F的顯示的公式和 u(x)0的 部分的 U；見【 23】。自然要問(wèn)，人口增長(zhǎng)和擴(kuò)散怎樣相互作用。這相當(dāng)于人口密度 u(x)=m+(x),這里 m+(x)表示 m(x)的正向部分。在這些模型中，生物的分布隨著向梯度的移動(dòng)速率變大，而趨向于變得集中在 m(x)的局部最大值附近，見【 12,13】 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 7 這個(gè)模型有如下形式 ? ? ),(),( uxufuxfuuu t ??????? ?? in ? ???? ,0 . () 無(wú)通量邊界條件 0),( ?????? n uxfunu ?? on ? ????? ,0 () 這里 uxmuxf ?? )(),( () 方程中 u(x,t)表示單一種群的密度，而隨機(jī)擴(kuò)散系數(shù)是 ? 。在本文中我們假設(shè) m∈ 2C , ???? ， ? ?1,0?? ，且 m在 Ω上可取正。這種方法已經(jīng)被用在【 11,12,16,25】中。要從進(jìn)化穩(wěn)定的觀點(diǎn)來(lái)分析這樣一個(gè)模型，我們需要研究 半平凡 平衡 ()()的穩(wěn)定性。0kk jjuu? ???? , 其中 ? ?0。 ,( ) ( )s u pd e fxyxyu x u yuxy ?? ? ?????? ? ??, 則稱 u 在 ? 上具有指數(shù)為 ? 的 Holder 連續(xù)性 .所有這樣的函數(shù)組成的空間記為()C?? . 對(duì)于非負(fù)整數(shù) k ,01???, ()kC ?? ? 表示 ()C?? 中滿足 ? ?。kk ku u u? ?? ? ? ????. 現(xiàn)在記區(qū)間 (0, )IT? , TQ 表示 1nR? 中的柱體 I?? . 我們引入空間 ,( ) 2()kk TCQ???? . 對(duì)于 (,)uxt , 我們引入如下半模 : 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 11 ? ? ? ?。 。2 2 1T TT ts r s rt x t xkQ r s k r s ku D D u D D u? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???. 空間 ,( ) 2()kk TCQ???? 的范數(shù)可寫成 ? ? ? ?。 ? 用來(lái)衡量種群向適應(yīng)性梯度移動(dòng)的傾向。 我們先給出問(wèn)題 ()的一個(gè)局部解存在性結(jié)論 。 將人口增長(zhǎng)和擴(kuò)散的相互作用、擁擠避免包含進(jìn)一個(gè)系統(tǒng)，我們得到了單物種模型。通過(guò)上述的證明，我們得到 了定理 ()在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上存在唯一古典解。 所以，具有各種不同因素的模型都將會(huì)給拋物型偏微分方程系統(tǒng)帶來(lái)一個(gè)廣闊的研究拓展領(lǐng)域。ˇ cik, The evolution of dispersal rates in a heterogeneous timeperiodic environment, J. Math. Biol. 43 (20xx) 501– 533. 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 25 致謝 經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的忙碌和工作，本次畢業(yè)論文已經(jīng)臨近尾聲。 see [23,24,28]. Some of these phenomena and other aspects of the ecological effects of directed versus random movement and the evolution of dispersal are studied in the context of twopatch models in [3,4]. A key idea underlying the ideal free distribution is that individuals will locate themselves in such a way as to optimize their fitness. Thus, at equilibrium, all anisms in the occupied part of the habitat will have equal fitness and there will be no movement of individuals if the population is constant. A continuum model that captures those features was introduced in [25]. Suppose that a population has an 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 30 intrinsic per capita growth rate m(x) that varies in space but experiences increased mortality and/or decreased reproductive success due to crowding uniformly throughout its environment. If the population density is scaled appropriately the local reproductive fitness of an individual at location x in the presence of conspecifics at density u(x) is given by f(x,u)=m(x)u(x) Let F denote the fitness of anisms in the occupied part of the habitat Ω. For a fixed total population U the distribution of the population will be given by u = ? _m(x)? F if m(x) F