【正文】 ??? ?? in ? ???? ,0 . ? ? ),(),( vuxvfvuxgvvv t ????????? ?? in ? ???? ,0 . () 無通量邊界條件 0),(),( ?? ??????? ????? n vuxgvnvn vuxfunu ???? on ? ????? ,0 , () 這里 f同 ()， g 代表替換的擴散策略的一部分。例如， g=0，對應(yīng)于通過簡單擴散的無條件擴散。 g=m,對應(yīng)于不考慮擁擠的向資源的移流，而 g=(u+v)對應(yīng)不參考資源分布的避免擁擠的擴散。要從進化穩(wěn)定的觀點來分析這樣一個模型，我們需要研究 半平凡 平衡 ()()的穩(wěn)定性。要做到這點，需要關(guān)于平衡的詳細知識。 理解半平凡平衡 ? ?0,~u ，這里 u~ 滿足 ()()是必須的并且是本文的主題 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 8 本文中我們將集中考慮 g=0 的情況 ` ? ?? ? ? ?? ?? ???????????????????????????0,),(,nvnvuxfuuvuxvfvvvuxufvuxufuutt????? () 初始條件 u(x,0),v(x,0)都是非負且不恒為零的在 ? 上， ??? , 都是正常數(shù) 本文考慮模型的 （ ）的一維空間情形，我們將證明 相應(yīng)的一維模型存在唯一的整體古典解 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 9 2. 理論準備 為了 敘述和證明的方便起見 ,本節(jié)對模型研究過程中所用到的 一些 基本定 理及 空間先 作 些 說明（參考文獻 [1]， [2]） . 極值原理 設(shè) (,)uxt 在 區(qū)域 ? ?,0TR x t T??? ? ? ?上連續(xù)，并且在 區(qū)域 內(nèi)部滿足 熱傳導(dǎo)方程，則它在 區(qū)域 的兩個側(cè)邊 ( x ?? 及 x ?? ,0 tT?? )及底邊 ( 0,tx??? ? ? )上取到其最大值和最小 值 . 換言之，如果以 T? 表示 TR 的兩側(cè)邊及底邊所組成的邊界曲線（通稱為拋物邊界），那么成立著： m a x ( , ) m a x ( , )TTR u x t u x t?? ， m in ( , ) m in ( , )TTR u x t u x t?? . 注：上述對熱傳導(dǎo)方程的極值原理，可推廣到如下一般的拋物型方程： 2 ( , ) ( , ) 0tu a u b x t u c x t u? ? ? ? ? ?， 其中 0c? . 比較原理 對一般方程來說，設(shè) u 和 v 都是區(qū)域 ? 內(nèi)的函數(shù)，且在 ??上連續(xù) .如果在 ? 的邊界 ? 上成立著不等式 uv? ，那么在 ? 內(nèi)上述不等式也成立；并且只有在 uv? 時，在 ? 內(nèi)才會有等號成立的可能 . Holder空間 設(shè) ? 是 nR 的有界區(qū)域 ,對于非負整數(shù) k , ()kC ? 表示所有在 ? 上 k 次連續(xù)可微的函數(shù)組成的空間 ,在其上賦予范數(shù)： 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 10 ? ?。 。0kk jjuu? ???? , 其中 ? ?0。 supuu? ?? , ? ?。 0。j ju D u??? ??? ? 這里 1, 2,( , )n? ? ? ?? 是多重指標 , 0( 1, 2, , )i in? ?? , 1nii?????, 1212 nnD x x x??????? ? ? ?. 對于 01???,如果 ()uC??且 ? ?。 ,( ) ( )s u pd e fxyxyu x u yuxy ?? ? ?????? ? ??, 則稱 u 在 ? 上具有指數(shù)為 ? 的 Holder 連續(xù)性 .所有這樣的函數(shù)組成的空間記為()C?? . 對于非負整數(shù) k ,01???, ()kC ?? ? 表示 ()C?? 中滿足 ? ?。 。d e fk ku D u?? ???? ?? ???? ? ???? 的函數(shù)組成的線性空間 , 在其上定義范數(shù)： ? ?。 。kk ku u u? ?? ? ? ????. 現(xiàn)在記區(qū)間 (0, )IT? , TQ 表示 1nR? 中的柱體 I?? . 我們引入空間 ,( ) 2()kk TCQ???? . 對于 (,)uxt , 我們引入如下半模 : 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 11 ? ? ? ?。s u p ( , )Txk Q ktu u t??? ? ???, ? ? ? ?。s u p ( , )Ttk Q k Ixu u x??????. 在 ,( ) 2 ()kk TCQ???? 中， 我們依次以下方式引入半模 : ? ? 。 , ( ) ( )s u p ( , )TTQ X Y QXYu X u Yu XY?? ????? , 當 k 為偶數(shù)時： ? ? 。 。2 ,T TsrtxkQ Qr s ku D D u? ?? ?? ??? ??? 當 k 為奇數(shù)： ? ? 。 。 ( 1 ) 2 。2 2 1T TT ts r s rt x t xkQ r s k r s ku D D u D D u? ??? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???. 空間 ,( ) 2()kk TCQ???? 的范數(shù)可寫成 ? ? ? ?。0。02TTTsrtxk Q k r s ku D D u u????? ? ???? . 2( ), ( ), ( )PP TpL L Q W??與 ? ?2,1 (0, )pWT?? 空間 （ 1P? ） 記 : (0, )TQT??? ， 為一致 起見，我們將用下列的注記： ? ?( ) : ( ) | ()p pu x dxL u x ??? ???， ? ?0 (( ) : ( , ) | ,)Tp T pu x t d x d tL Q u x t ? ??? ??， ? ? ? ?22: | , , ( )pp x xW u u D u D u L? ? ? ?， ? ? ? ?2 ,1 2: | , , , ( )pp T x x t TW Q u u D u D u D u L Q??. 上述空間的范數(shù)定義如下： ? ? 1()p p pL uu dx?? ? ? ? ? 1() 0p TT pQ pL u d x tu d?? ??， 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 12 ? ?2 2( ) ( ) ()pp pp xxW L L Lu u D u D u? ? ? ?? ? ?， ? ?2 ,1 2( ) ( ) ( )()p p ppp T T TTx x tW L Q L Q L QLQu u D u D u D u? ? ? ? ?. 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 13 3. 局部解的存在性 本文中我們考慮一維情形 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ???????????????????????????01,01,0 xxxxxxxtxxxxtvvumuuvumvvvvumuvumuuu?????? x ? ? 0,1,0 ?? t () 初始條件： u(x,0)= ??xu0 , ? ? ? ?xvxv 00, ? 模型中相關(guān)變量參數(shù)定義： m 表示固有人口增長率。 u(x,t)、 v(x,t)表示種群的密度，而隨機擴散系數(shù)是 ? 、 ? 。 ? 用來衡量種群向適應(yīng)性梯度移動的傾向。 我們假設(shè) ? 是正常數(shù)， ? 是非負常數(shù)。 在本文中我們假設(shè) m∈ ??2C , ???? ，? ?1,0?? ，且 m在 Ω上可取正。 u(x,0)、 v(x,0)是連續(xù)的，非負的 ，不衡等零的。 我們先給出問題 ()的一個局部解存在性結(jié)論 。 定理 假設(shè) m(x), ? ? ? ?1,0,)(),( 200 ??? ? ??Cxvxu 則存在某個 ? ???? ,0maxT ,使得問題()存在唯一的解 (u,v)滿足 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?m a x22,2 ,0, TCtxvtxu ??? ?? ?? 進一步，如果 ??maxT 則有 ? ? ? ? ??????Ltu ,當 maxTt? 證明： 該局部存在性結(jié)果是經(jīng)典結(jié)論，證明參見參考文獻 [1][2] 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 14 我們試圖證明 ()的古典解在整個時間 ? ??,0 上存在 ，根據(jù)定理 (),只要證明 ()存在某個常數(shù) C0，使得對任何 T0,都有 ? ? ? ? CtuL ?? ??,對 ? ?Tt ,0?? () 而 ()的證明是建立在一些引理的基礎(chǔ)上的。 引理 假設(shè) (u,v)是 ()的在時間區(qū)間 ? ?T,0 上的一個古典解，則 ? ? mtv ??? ,0 ， ? ?Tt ,0?? () ? ? ? ?? ?? ? ? ?,0,m a x, 11 0 Ttumtu LL ???? ?? () 其中 ? ?xmm max:?? 證明：首先由假設(shè) ? ? ? ? 0,0 00 ?? xvxu 以及拋物方程 的最大值原理知： ? ? ? ?Tttxu ,0,0, ??? () ? ? ? ?Ttmtxv ,0,0 ???? () 再在 ()中的第一個方程兩邊關(guān)于 x在 (0,1)上積分得 ? ??? ??? 1010 dxvumuudxdtd ? ?? ?? 10 dxumu ?? ?? 10 210 dxuu d xm () 另一方面，由 Holder 不等式 得 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 15 ??? ???????? 10 210 2210 1 dxudxudx ?? 10 2dxu 將上式代入 ()得 2101010 ???????? ??? u d xu d xmu d xdtd () 令 ? ? ? ?dxtxuty ?? 10 , 則 ()可寫為 ? ? ? ? ? ?tytymty 2??? ? ? ? ? ? 111 ????????????? tymty 再令 ?? ??tytz 1? 推知 ? ? ? ? 1???? tzmtz ? ? ?? ? tmtm etze ??? ? ? ? ? ? ? ?110 ???? tmtm emztze ? ? ? ? ? mzemtze tmtm 101 ???? ? ? ? ? ? tmemzmtz ??????? ??? 101 ? ? ?? ? tmemymty??????? ??? 10111 ? ? ?? ?mu L ,max 10? 為敘述方便起見 ，一下我們不妨設(shè) 1??? ??? () 具適應(yīng)性的人口疏散模型的 整體解 16 注意到 v 滿足如下方程 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????????????????????1,00,0,0,0,1,0,1201,0?Cxvxvtvtxvumvvvvxxxxt ? () 其中，由 ()和 ()有 ? ? ? ? ? ?11, ?????? Lvumvtxg () 從而，我們可以